文档介绍：
线性代数
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主要内容
一、矩阵相似的概念
二、矩阵相似对角形
三、小结
四、思考与练****br/>厅灵磨翠攻纶袋桨锨啸瓮帘烃未饯副渝债暮靠滦宙媒爱屑底贵汗呕惨霍看5[1].2_矩阵相似对角化5[1].2_矩阵相似对角化
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一. 相似矩阵的概念
定义:
设都是阶矩阵,若存在可逆矩阵,使得
则称矩阵是矩阵的相似矩阵,
对进行运算称为对进行相似变换,
可逆矩阵称为把矩阵变成矩阵的相似变换矩阵。
或称矩阵与矩阵相似,记作
注:1 矩阵相似是一种等价关系
(1)反身性:
(2)对称性:若则
(3)传递性:若则
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分析: ,则存在可逆矩阵,使
, 则与相似( 为正整数).
,
,则
其中是任意常数.
分析:
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定理1: 阶方阵相似,则有
和的特征多项式相同,即
从而和的特征值相同
注: 满足(1),(2),(3)时A和B不一定相似.
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推论:若矩阵与对角阵相似,
则是的个特征值。
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例1:设矩阵与相似,
求
.
解:利用
得到方程
,
再利用
得到
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利用对角矩阵计算矩阵的方幂
若
则
k个
的多项式
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特别地,若可逆矩阵,使
为对角矩阵,则
对于对角矩阵,有
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二. 矩阵相似对角形
对阶方阵,如果可以找到可逆矩阵,
使得为对角阵,就称为把方阵对角化。
定义:
定理2: 阶矩阵可对角化(与对角阵相似)
有个线性无关的特征向量。
(逆命题不成立)
推论1 :若阶方阵有个互不相同的特征值,
则可对角化。(与对角阵相似)
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