文档介绍：由牛顿—莱布尼兹公式知: 计算定积分
因用凑微分法计算不定积分时自始至终没有引入新
变量, 故用凑微分法计算定积分时, 也应自始至终不改
变积分限. 下面举例说明.
§ 定积分的计算方法
第五章知求函数的原函数(即不定积分)的方法有凑微分法、换元法和分部积分法. 因而在一定条件下, 也可用这几种方法来计算定积分.
的关键在于求出ƒ(x)在[a, b]上的一个原函数F(x); 而由
定积分的计算方法
1
例11 计算
定积分的计算方法
2
定积分的计算方法
3
(1) 在[α,β]上单调连续且具有连续导数;
(2) (α)= a, (β)= b, 则
定理8 若ƒ(x)在[a, b]上连续, 而 x =(t) 又满足
证设F(x)是ƒ(x)的一个原函数,
定积分的计算方法
4
——此式称为定积分的换元公式.
(3) 求出
在应用换元公式计算定积分时, 应注意以下几个问题:
(1) 所选择的代换式x=(t)必须满足定理中的两个条件;
(2) “上限对上限,下限对下限”;
求不定积分那样把(t)还原成 x 的函数, 而只须直接将 t
的上、下限代入相减即可.
后,不必象
定积分的计算方法
5
例12 当 a > 0时, 计算
定积分的计算方法
6
注1 由几何意义知, 此定积分
即为圆
定积分的计算方法
7
在第Ι象限的面积.
性质1 设ƒ(x)在[−a, a]上连续, 则
证
(1)若为ƒ(x)偶函数, 则有ƒ(x)=ƒ(− x)
令x = −t, 则 d x = −d t, 且
定积分的计算方法
8
从而
(2)若为ƒ(x)奇函数, 则有ƒ(x)=−ƒ(− x)
令x = −t, 则 d x = −d t, 且
从而
定积分的计算方法
9
注2 利用此结论可简化奇函数及偶函数在对称区间上的
定积分的计算.
例13 计算
解(1) 被积函数为奇函数. 则原式= 0.
令x = tanu, 则
(2) 被积函数为偶函数, 故
定积分的计算方法
10