文档介绍：1§ 定积分的应用利用元素法解决: 定积分在几何上的应用定积分在物理上的应用 2定积分的元素法(微元法) 一、什么问题可以用定积分解决? 二、如何应用定积分解决问题? 3 表示为????? ni iixfU 1 0)( lim ??一、什么问题可以用定积分解决? 1) 所求量 U是与区间[a , b]上的某分布 f (x)有关的 2) U对区间[a , b]具有可加性,即可通过“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”? baxxfd)(????? ni iixf 1 0)( lim ??定积分定义一个整体量;4 二、如何应用定积分解决问题? 第一步利用“化整为零, 以常代变”求出局部量的微分表达式 xxfUd)(d?第二步利用“积零为整, 无限累加”求出整体量的积分表达式?U xxf bad)(?这种分析方法成为元素法(或微元分析法) 元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳等近似值精确值 5 四、旋转体的侧面积(补充)三、已知平行截面面积函数的立体体积定积分的几何应用一、平面图形的面积二、平面曲线的弧长 6 一、平面图形的面积 1. 直角坐标情形设曲线)0()(??xfy与直线)(,babxax???及x轴所围曲则xxfAd)(d? xb a o y )(xfy?xxxd?xxfA bad)(??边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为 yob xa )( 2xfy?)( 1xfy?xxfxfA bad)()( 21???xxxd? 7 例 22,xyxy??在第一象限所围所围图形的面积. x xy? 2o y 2xy?xxxd?解:由xy? 22xy?得交点)1,1(,)0,0()1,1(1?? xxxAdd 2??? 2 33 2x?? 0 133 1x?3 1???? 10A 8x xy2 2?o y4??xy 例 xy2 2?与直线的面积. 解:由xy2 2?4??xy 得交点)4,8(,)2,2(?)4,8(yyyAd)4(d 22 1???18 ? 4??xy 所围图形)2,2(?? 22 1y? y4?? 42 36 1??y 为简便计算, 选取 y作积分变量,则有y yyd????? 42A 9a bx o yx 例 3. 求椭圆 1 2 22 2??b ya x 解:利用对称性, xyAdd?所围图形的面积. 有?? axyA 0d4 利用椭圆的参数方程)20( sin cos ????????ttby tax 应用定积分换元法得?? 0 24 ?A tb sin ttad) sin (???? 20 2d sin 4 ?ttbaba4? 2 1? 2 ?? ba??当a = b时得圆面积公式 xxd? 10o yx ab abo yx 一般地, 当曲边梯形的曲边由参数方程?????)( )(ty tx??给出时,按顺时针方向规定起点和终点的参数值 21,tt 则曲边梯形面积??????? 21d)()( )(tt txbattt ydx A???)( 1axt?对应)( 1bxt?对应