文档介绍：一、定义法
设x1,x2是函数f(x)定义域上任意的两个数,且x1<x2,若f(x1)<f(x2),则此函数为增函数;反知,若f(x1)>f(x2),则此函数为减函数.
证明:当时,。
证明:令
所以,当时,,所以为严格递增的
,所以。
二、性质法
除了用基本初等函数的单调性之外,利用单调性的有关性质也能简化解题.
若函数f(x)、g(x)在区间B上具有单调性,则在区间B上有:
⑴ f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性;
⑵ f(x)与c•f(x)当c>0具有相同的单调性,当c<0具有相反的单调性;
⑷当f(x)、g(x)都是增(减)函数,则f(x)+g(x)都是增(减)函数;
⑸当f(x)、g(x)都是增(减)函数,则f(x)•g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数,当两者都恒小于0时也是减(增)函数;
三、同增异减法
是处理复合函数的单调性问题的常用方法. 对于复合函数y=f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域),可令 t=g(x),则三个函数 y=f(t)、t=g(x)、y=f [g(x)]中,若有两个函数单调性相同,则第三个函数为增函数;若有两个函数单调性相反,则第三个函数为减函数.
注:(1)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性,偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性;
(2)互为反函数的两个函数有相同的单调性;
(3)如果f(x)在区间D上是增(减)函数,那么f(x)在D的任一子区间上也是增(减)函数.
设单调函数为外层函数,为内层函数
(1) 若增,增,则增.
(2) 若增,减,则减.
(3) 若减,减,则增.
(4) 若减,增,则减.
例1. 求函数的单调区间.
教学意图:,在此处我还没有让学生认识到定义域的重要性,先让学生初步掌握复合函数单调区间的求法.
解题过程:
外层函数:
内层函数:
内层函数的单调增区间:
内层函数的单调减区间:
由于外层函数为增函数
所以,复合函数的增区间为:
复合函数的减区间为:
四、求导法
导数小于0就是递减,大于0递增,等于0,是拐点极值点
求函数值域的常用方法
用于简单的解析式。
y=1-√x≤1,值域(-∞, 1]
y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(-∞,-1)∪(-1,+∞).
多用于二次(型)函数。
y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1, +∞)
y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,+∞)
3. 换元法
多用于复合型函数。
通过换元,使高次函数低次化,分式函数整式化,无理函数有理化,超越函数代数以方便求值域。
特别注意中间变量(新量)的变化范围。
y=-x+2√( x-1)+2
令t=√(x-1),
则t≤0, x=t^2+1.
y=-t^2+2t+1=-(t-1)^2+2≤1,值域(-∞, 1].
4. 不等式法
用不等式的基本性质,也是求值域的常用方法。
y=(e^x+1)/(e^x-1), (0<x<1).
0<x<1,