文档介绍：鲁棒稳定性分析的LMI方法
李雅普诺夫直接法是整个稳定性理论的核心方法,李雅普诺夫在1892年提出的稳定性的基础,被称为基本理论。
系统的二次稳定一般只是鲁棒稳定的一个充分条件,而不是必要的。事实上,考虑具有不确定参数的系统。
()
其中是系统的状态变量, 是实值参数向量,假定不确定参数在一个给定的集合中的取值,对于系统()来说,因为二次稳定性要求对所有的不确定性参数,存在一个公共的李雅普诺夫矩阵P>0是得
成立,如果矩阵是定常的,二次稳定与渐进稳定是等价的。
对于鲁棒的稳定性而言,二次稳定是一个相对保守的概念,其处理参数不确定性的系统,特别是具有时变结构不确定性参数的系统的鲁棒稳定性是非常有效的。
对于系统()而言,如果存在一个对称正定矩阵P>0,使得对所有的不确定性参数,矩阵不等式
()
成立,则系统()是二次稳定的。一般情况下是一个无穷集合,所以需要验证无穷多个矩阵不等式的可行性。当然这是很难
处理的。对于具体的不确定性模型,一下给出基于LMI的系统二次稳定的有效校验方法。
考虑如下具有时变结构不确定性参数系统
其中
则关于系统()二次稳定的定理如下:
系统()二次稳定的充分与必要条件是存在对称正定矩阵P>0和标量>0,使得下述
LMI成立
下面考虑不确定性参数模型的仿射依赖模型,即矩阵具有以下的形式:
()
定义顶点集
其中共有l= 个顶点。容易看到,不确定性参数的的允许范围是 是顶点 的一个凸包,即由中l个顶点的凸组合的全体所构成的集合。记l个顶点为,i=1,…,l,
()
首先,讨论这类系统的二次稳定性,有下述定理。
具有系统矩阵式()的系统()二次稳定的充分必要条件是,存在一个对称矩阵P,使得对所有的,矩阵不等式()成立。
对于式()表示的多项式型参数不确定性,研究表明:参数依赖的李雅普诺夫函数,即用一个参数依赖的李雅普诺夫矩阵来替代二次稳定性中的单一的李雅普诺夫矩阵,可以克
服二次稳定的保守性。但是,要利用参数依赖的李雅普诺夫函数或泛函来克服二次稳定的保守性,存在困难,那就是在李雅普诺夫函数的导数中,系统矩阵与李雅普诺夫矩阵的分离比较困难。
本节介绍一种简单的处理参数依赖的李雅普诺夫函数的方法,它可以方便的分离李雅普诺夫函数的导数中的系统矩阵和李雅普诺夫矩阵。为此将李雅普诺夫函数修改为:
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这里, 是待定正定矩阵。
计算李雅普诺夫函数式()沿系统方程的导数,有
()
显然要判断是比较困难的,一种有效的方式是将表示成
的形式,这样,只要,就能保证,从而判定系统的稳定性。
事实上,由系统方程()引入自由矩阵,对任意合适维数的矩阵,有
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将式()的左边加入之中,有
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这里
如果存在以及任意合适维数的矩阵使得下述LMI
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对于i=1,…,l成立,则具有系统矩阵()并可表示成()的系统()是鲁棒稳定的。