文档介绍：2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)
数学(理工农医类)
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共6页,时量120分钟,满分150分。
参考公式:(1),其中为两个事件,且,
(2)柱体体积公式,其中为底面面积,为高。
(3)球的体积公式,其中为求的半径。
一选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的。
,为虚数单位,且,则( )
A. B. C. D.
答案:D
解析:3
3
2
正视图
侧视图
俯视图
图1
因,根据复数相等的条件可知。
,,则“”是“”则( )

答案:A
解析:因“”,即,满足“”,反之“”,则,或,不一定有“”。
,则该几何体的体积为( )
A. B.
C. D.
答案:B
解析:有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体,其体积。
,得到如下的列联表:
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由算得
附表:

参照附表,得到的正确结论是( )
,认为“爱好该项运动与性别有关”
,认为“爱好该项运动与性别无关”
“爱好该项运动与性别有关”
“爱好该项运动与性别有关”
答案:C
解析:由,而,故由独立性检验的意义可知选C.
,则的值为( )

答案:C
解析:由双曲线方程可知渐近线方程为,故可知。
6. 由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为( )
A. C. D.
答案:D
解析:由定积分知识可得,故选D。
7. 设,在约束条件下,目标函数的最大值小于2,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
答案:A
解析:画出可行域,可知在点取最大值,由解得。
,则当达到最小时的值为( )
B. C. D.
答案:D
解析:由题,不妨令,则,令解得,因时,,当时,,所以当时,达到最小。即。

二填空题:本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分,把答案填在答题卡中对应题号的横线上。
一、选做题(请考生在第9、10、11三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)
,曲线C1的参数方程为(为参数)在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点O为极点,以轴正半轴为极轴)中,曲线的方程为,则与的交点个数为。
答案:2
解析:曲线,,由圆心到直线的距离,故与的交点个数为2.
,则的最小值为。
答案:9
解析:由柯西不等式可知。
,是半圆周上的两个三等分点,直径,
,垂足为D, 与相交与点F,则的长为。
答案:
解析:由题可知,,,得,,
又,所以.
二、必做题(12~16题)
12、设是等差数列的前项和,且,则
答案:25
解析:由可得,所以。
13、若执行如图3所示的框图,输入,则输出的数等于。
答案:
解析:由框图的算法功能可知,输出的数为三个数的方差,
则。
14、在边长为1的正三角形中,设,则。
答案:
解析:由题,,
所以。
15、如图4, 是以为圆心,半径为1的圆的内接正方形,将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方形内”,B表示事件“豆子落在扇形(阴影部分)内”,则
(1);(2)
答案:(1);(2)
解析:(1)由几何概型概率计算公式可得;
(2)由条件概率的计算公式可得。
16、对于,将表示为,当时,,当时,,(例如,:故)则
(1) (2)
答案:(1)2;(2)
解析:(1)因,故;
(2)在2进制的位数中,没有0的有1个,有1个0的有个,有2个0的有个,……有个0的有个,……有个0的有个。故对所有2进制为位数的数,在所求式中的的和为:
。
又恰为2进制的最大7位数,所以。
:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)在中,角所对的边分别为,且满足.
(I)求角的大小;
(II)求的最大值,并求取得最大值时角的大小.
解