文档介绍：五大模型
一、等积变换模型
⑴等底等高的两个三角形面积相等;
其它常见的面积相等的情况
⑵两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比;
两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比。
如上图
⑶夹在一组平行线之间的等积变形,如下图;
反之,如果,则可知直线平行于。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半;
⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;
二、鸟头定理(共角定理)模型
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图,在中,分别是上的点(如图1)或在的延长线上,在上(如图2),则
图1 图2
三、蝴蝶定理模型
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”):
①或者②
,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)
①
②;
③梯形的对应份数为。
四、相似模型
相似三角形性质:
金字塔模型沙漏模型
①;
②。
所谓的相似三角形,就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似),与相似三角形相关的常用的性质及定理如下:
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比;
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
五、燕尾定理模型
S△ABGS△AGCS△BGES△EGCBEEC
S△BGAS△BGCS△AGFS△FGCAFFC
S△AGCS△BCGS△ADGS△DGBADDB
典型例题精讲
例1 一个长方形分成4个不同的三角形,,黄色三角形的面积是21平方厘米。问:长方形的面积是__________平方厘米。
例1图
例2 如图,三角形田地中有两条小路AE和CF,交叉处为D,张大伯常走这两条小路,他知道DF=DC,且AD=2DE 。则两块地ACF和CFB的面积比是__________。
例2图
【举一反三】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形,如图所示, 三个三角形的面积分别是3,7,7,则阴影四边形的面积是多少?
举一反三图
【拓展】如图,已知长方形ADEF的面积16,三角形ADB的面积是3,三角形ACF的面积是4,那么三角形ABC的面积是多少?
拓展图
例3 如图,将三角形ABC的AB边延长1倍到D,BC边延长2倍到E,CA边延长3倍到F。如果三角形ABC的面积等于1,那么三角形DEF的面积是__________。
例3图
【拓展】如图,在△ABC中,延长AB至D,使BD=AB,延长BC至E,使,F是AC的中点,若△ABC的面积是2,则△DEF的面积是多少?
拓展图
例4 如图,在△ABC中,已知M、N分别在边AC、BC上,BM与AN相交于O,若△AOM、△ABO和△BON的面积分别是3、2、1,则△MNC的面积是__________。
例4图
【秒杀题】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)。如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的,且AO=2,DO=3,