文档介绍：1、函数零点的定义
(1)对于函数,我们把方程的实数根叫做函数的零点。
(2)方程有实根函数的图像与x轴有交点函数有零点。因此判断一个函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程是否有实数根,有几个实数根。函数零点的求法:解方程,所得实数根就是的零点
(3)变号零点与不变号零点
①若函数在零点左右两侧的函数值异号,则称该零点为函数的变号零点。
②若函数在零点左右两侧的函数值同号,则称该零点为函数的不变号零点。
③若函数在区间上的图像是一条连续的曲线,则是在区间内有零点的充分不必要条件。
2、函数零点的判定
(1)零点存在性定理:如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线,并且有,那么, 函数在区间内有零点,即存在,使得,这个也就是方程的根。
(2)函数零点个数(或方程实数根的个数)确定方法
①代数法:函数的零点的根;
②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点。
(3)二次函数零点个数确定
有2个零点有两个不等实根;
有1个零点有两个相等实根;
无零点无实根;对于二次函数在区间上的零点个数,要结合图像进行确定.
二分法
(1)二分法的定义:对于在区间上连续不断且的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;
(2)用二分法求方程的近似解的步骤:
①确定区间,验证,给定精确度;②求区间的中点;③计算;
(ⅰ)若,则就是函数的零点;(ⅱ) 若,则令(此时零点);
(ⅲ) 若,则令(此时零点);
④判断是否达到精确度,即,则得到零点近似值为(或);否则重复②至④步.
【经典例题】
【例1】函数在区间内的零点个数是( )
A、0 B、1 C、2 D、3
【例2】函数 f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是( )
A、(-2,-1) B、(-1,0) C、(0,1) D、(1,2)
【例3】下列函数中能用二分法求零点的是( )
【例4】若函数(且)有两个零点,则实数的取值范围是_______.
【例5】函数, 零点个数为( )
A、3 B、2 C、1 D、0
【例6】若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:
f (1) = -2
f () =
f () = -
f () = -
f () =
f () = -
那么方程的一个近似根()为( )
A、 B、 C、 D、
【例7】如果二次函数有两个不同的零点,则的取值范围是( )
A、 B、 C、 D、
【例8】方程根的个数为( )
无穷多Error! No bookmark name given. B、 C、 D、
【例9】用二分法研究函数的零点时,第一次经计算,可得其中一个零点,第二次应计算. 以上横线上应填的内容为( )
A、(0,), B、(0,1),
C、(,1), D、(0,),
反思:(1)函数零点(即方程的根)的确定问题,常见的有:①函数零点值大致存在区间的确定;②零点个数的确定;③两函数图象交点的