文档介绍：在第三章中,我们把维空间中的向量的模长推广到一般线性空间中去,得到了赋范线性空间的概念。但在中可以通过两个向量的夹角讨论向量与方向的问题。这对仅有模长概念的赋范线性空间是做不到的。我们知道,中向量的夹角是通过向量的内积描述的,因此在本章我们引入了一般的内积空间的概念。
内积空间的基本概念
首先回忆几何空间中向量内积的概念。设,,设与夹角为,由解析几何知识可得
其中, ,
令,称为与的内积,不难证明它有如下性质:
(1)
(2)
(3)
(4)
注:由定义可得,我们看到,两个向量的夹角仅与向量的内积有关。利用内积我们可以讨论如向量的直交及投影等重要几何问题。
现在我们引入一般的内积空间的概念。
【定义 】设为数域上线性空间,若对任两个元素(向量),,有惟一中数与之对应,记为,并且满足如下性质:
(1)
(2)
(3)
(4)
则称为与的内积,有了内积的线性空间叫做内积空间,当为实数域(或复数域),叫为实(或复)内积空间。
注:由性质(3)与性质(4)知,内积运算关于第一变元是线性的。
由性质(2)与性质(4),内积关于第二个变元也是线性的。而常称为共轭齐次性,因此在为赋内积空间时,内积是共轭线性的。
今后讨论中不加注明时,恒设为复内积空间。
【引理 】(Schwaraz不等式) 设为内积空间,对任意,,成立不等式
证明:若,则任,有,则显然不等式成立。现在设,则,有
取代入上式可得,由此可得
证毕。
【定理 】设为内积空间,对任,令,则是的范数。
证明:因范数的前两条性质可直接由内积的性质推出,我们仅验证它满足第三条性质(即三角不等式)。事实上
。
注:常称为内积导出的范数,于是内积空间按此范数成为一个赋范线性空间。在此意义下,第二章关于赋范线性空间的有关内容都适用于内积空间。特别当内积空间
按由内积导出的范数完备的,称为Hilbert空间。
以下介绍几个常用的Hilbert空间的例子。
例 表示(实或复)Euclid空间,对于,,类似于几何空间中向量的内积定义,令
不难验证成为一个空间。
例 ,当,
时,令
容易证明成为内积空间。以下证明为Hilbert空间。任取列
,则对任当时,有
因而有
故数列是列,因数域完备,则存在,使
,令,则任,当时,有
则令,对每个及任,有
因而,亦有,只要,所以,注意是线性空间,则
,且,,这即表明在中收敛,故为Hilbert空间。
例 为有限或无穷区间,对任,定义内积
这里中的元素是实值或复值二次可积函数,也不难验证是内积空间。现在证明是Hilbert空间。
设为列,则对每个,存在自然数,有
对任有限区间,由不等式,有
式中,为的长度。
故级数收敛,于是由引理(见第一章)我们有
从而知是集上可积函数,则比在上为处处有限函数,即级数在
上几乎处处收敛,而为中任意有限区间,则级数在上几乎处处收敛,因而级数在上几乎处处收敛,亦即函数在上几乎处处收敛于函数.
现在证明,且.
对任意,因为中列,则存在,当时,有,即
令,利用第一章积分的性质,得到
即,且,,故是Hilbert空间。
内积的连续性。设,则有
证明:由不等式,得
因收敛有界。证毕。
极化恒等式。对内积空间中元素与,成立
证明可直接运用范数的定义和内积的性质得到。留给读者作为练****br/>注:当为实数内积空间时,则极化恒等式为
中线公式。对内积空间中元素与,成立
证明:
证毕。
注:也常称中线公式为平行四边形公式。因在平面中,平行四边形的对角线长度的平方和等于四条边的长度平方和。另外,可以证明中线公式是内积空间中由内积导出的范数的特征性质,即当为赋范线性空间时,若对其中任何元素与关于范数成立中线公式,则必在中可定义内积,使范数可由此内积导出。也就是一个赋范线性空间成为内积空间的条件是其范数要满足中线公式。因此,内积空间是一类特殊的赋范线性空间。
例如,当且时,不是内积空间。因为,取,,则,且,显然不满足中线公式。
又例如,按范数不是内积空间。这只要取,及,,则,且,明显不满足中线公式。
再例如,当且时,也不是一个内积空间。<br****题
证明:Schwarz不等式中等号成立与线性相关。
设为实内积空间,,若,证明:.若,所证明事实有什么几何意义?
设为内积空间,,若对任何,有,试证明.
设为Hilbert空间,,求证的充要条件是,且
.
验证极化恒等式。
设是维线性空间的一组基,对于,有惟一表示
,其中,求证是上一个内积的充要条件是存在正定矩阵,成立
内积空间中