文档介绍：二. 相似矩阵的定义及性质
定义:
设都是阶矩阵,若存在可逆矩阵,使得
则称矩阵是矩阵的相似矩阵,
对进行运算称为对进行相似变换,
可逆矩阵称为把矩阵变成矩阵的相似变换矩阵。
或称矩阵与矩阵相似,记作
注:矩阵相似是一种等价关系
(1)反身性:
(2)对称性:若则
(3)传递性:若则
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性质1:
相似矩阵有相同的特征多项式、相同特征值、
相同的行列式、相同的迹、相同的秩
推论:若矩阵与对角阵相似,
则是的个特征值。
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(1)
相似矩阵或者都可逆,或者都不可逆。
当它们可逆时,它们的逆矩阵也相似。
其它的有关相似矩阵的性质:
(3)
若与相似,则与相似。( 为正整数)
(5)
(6)
( 为任意常数)
(2)
若与相似,则与相似。( 为正整数)
(4)
若与相似,而是一个多项式,
则与相似。
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(2)有相同特征多项式的矩阵不一定相似。
注: (1)与单位矩阵相似的n阶矩阵只有单位阵E本身,
与数量矩阵kE 相似的n阶方阵只有数量阵kE本身。
三. 矩阵可对角化的条件(利用相似变换把方阵对角化)
对阶方阵,如果可以找到可逆矩阵,
使得为对角阵,就称为把方阵对角化。
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定理1: 阶矩阵可对角化(与对角阵相似)
有个线性无关的特征向量。
(2)可逆矩阵由的个线性无关的特征向量
作列向量构成。
(逆命题不成立)
推论:若阶方阵有个互不相同的特征值,
则可对角化。(与对角阵相似)
注:(1)若则的主对角元素即为的特征值,
矩阵的相似标准形。
如果不计的排列顺序,则唯一,称之为
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例1: 判断下列实矩阵能否化为对角阵?
解:
得
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得基础解系
当时,齐次线性方程组为
当时,齐次线性方程组为
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得基础解系
线性无关
即A有3个线性无关的特征向量,所以A可以对角化。
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得基础解系
所以不能化为对角矩阵.
当时,齐次线性方程组为
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解:
例2:设
若能对角化,求出可逆矩阵使得为对角阵。
问能否对角化?
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