文档介绍：1. 二阶行列式--------对角线法则: a11 a12a21 a22= a11a22 -a12a21
2. 三阶行列式
①对角线法则
②按行(列)展开法则
3. 全排列:n个不同的元素排成一列。
所有排列的种数用Pn 表示, Pn = n!
逆序数:对于排列p1 p2… pn,如果排在元素pi前面,且比pi大的元素个数有ti个,则pi这个元素的逆序数为ti。
整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。
奇排列:逆序数为奇数的排列。偶排列:逆序数为偶数的排列。n个元素的所有排列中,奇偶各占一半,即n!2
对换:一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性.
4.
其中:j1j2j3 是1,2,3的一个排列,
t(j1j2j3)是排列 j1j2j3 的逆序数
5.
下三角行列式: 副三角跟副对角相识
对角行列式: 副对角行列式:
6. 行列式的性质:
①行列式与它的转置行列式相等. (转置:行变列,列变行)。D = DT
②互换行列式的两行(列),行列式变号。推论:两行(列)相同的行列式值为零。互换两行:ri↔ rj
③行列式的某一行(列)中的所有元素都乘以同一个数k,等于用数 k 乘此行列式。第i行乘k:ri x k
推论:行列式中某一行(列)的公因子可以提到行列式符号外面
④行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式等于0
⑤若行列式的某一列(行)的元素都是两个元素和,则此行列式等于两个行列式之和。如:
⑥把行列式的某行(列)的各元素同一倍数后加到另一行(列)的对应元素上去,行列式的值不变。如
第j列的k倍加到第i列上:ci+kcj
7. 重要性质:利用行列式的性质 ri+krj 或 ci+kcj ,可以把行列式化为上(下)三角行列式,从而计算n阶
行列式的值。(P11页例7)
8. 行列式按行(列)展开法则(***重要***)
①重要概念:
余子式:在 n 阶行列式中,把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去, 剩下的( n −1 )2 个元素按原来的排法构成的 n − 1 阶行列式叫做aij 的余子式,记为Mij
代数余子式:记 Aij = ( −1 ) i+j Mij 为元素 aij 的代数余子式。
②重要性质,定理
1)第i行各元素的余子式,代数余子式与第i行元素的取值无关。
或
2)行列式按行(列)展开法则:行列式等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即:

推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 即
或

使用该法则计算行列式的值:先选取存在最多0的行(列),从该行选取一个非0元素aij,并将该行其他元素
通过性质化为0,则D = aij Aij
9. 利用Cramer法则求解n个n元线性方程组:
①若非齐次线性方程组的系数行列式不等于零,则方程组有唯一解。等于0,则无解
其中 Dj(j=1,2…n) 是把系数行列式中的第j列的元素用方程组右边的常数项代替后所得到的的n阶行列式
即:
②对于齐次线性方程组,如果系数行列式D ≠ 0,则该方程组只有零解,若D = 0,则存在非零解。
第二章