近世代数——代数运算.doc

文档介绍：§3 代数运算
定义 设A,B,D是三个非空集合。从到D的映射叫做一个到D的二元代数运算;当A=B=D时, 到A的映射简称A上的代数运算或二元运算。
注:(1)为什么叫运算?不妨设是映射,若,我们可以说a和b在的法则下运算得到d。
(2)一个代数运算可以用表示,并将(a,b)在下的像记作。
(3) 是A上的代数运算,。
例1 设A=Z,B= Z\{0},D=Q,则是到D的代数运算,即是普通的除法。
(1) 设A=B={1,2},D={奇,偶},则有代数运算
奇,
但是。
(2) 设A=B=D=Z,则有代数运算
但是而,所以。
设A是非空集合,则集合的并与交是幂集上的代数运算。
;
注:当A,B是有限集时,到D的代数运算通常可以用一个矩形表给出。
设A={},B={},则到D的一个代数运算可以表为
· · ·
· · ·
· · ·

· · ·
此表通常称为运算表或Cayley表。
作业:
Page 9 第2题
补充
设A,B分别是元素个数为m和n的有限集合。
问从A到B有多少个不同的映射?
讨论一下从A到B的单(满,一一)映射的个数?