文档介绍：一阶微分方程
方程形式: 或写成对称形式
一、可分离变量的微分方程
如果一阶微分方程能写成
的形式,原方程称为可分离变量的微分方程。
解法:若连续,两边积分即可求解
。
二、齐次方程
1、如果一阶微分方程中的可写成的函数,即,则称方程为齐次方程。
解法:引进新的未知函数化成可分离变量的微分方程求解。
2、可化为齐次的方程
方程
当时为齐次,否则为非齐次,在非齐次情况下可适当变换化为齐次。
方法:令,从而,代入原方程中
①若系数满足,原方程可以化为齐次形式
;
②当时,令同样可以求解。
以上方法同样可用于
型方程的求解。
三、一阶线性微分方程
㈠、线性方程
形如
的方程称为一阶线性微分方程。
其通解为
(用常数变异法可以求解),
其中前一项为齐次方程的通解,后一项为方程的一个特解。(通解中的记号表示某个确定的原函数)
㈡、伯努利方程
形如

的方程叫做伯努利(Bernouli)方程。
解法:等式两边同时乘以化成
(*),
引入新的未知函数,那么
,
用乘方程(*)的两端,再通过代换便得到线性方程
,
求出解后以代替便得到伯努利方程的通解。
四、全微分方程
一阶微分方程
中,如果和满足条件(充分必要条件):
、在单连通域G内具有一阶连续偏导数,且有
成立,那么方程是一个全微分方程,其通解为
区域G
,
其中是在区域G内适当选定的点的坐标。
可降阶的高阶微分方程
一、型
型微分方程的一般解法是,连续积分次,得到含有个任意常数的通解。
二、型(不显含未知函数)
设,那么
,
原方程写成,这是一个关于变量、一阶微分方程,用前面的方法可解得其通解,设为,也即
,
积分一次就得到原方程的通解
。
三、型(不显含自变量)
令,利用复合函数求导法则
,
原方程改写为
,
这是关于变量、的一阶微分方程,其通解为,分离变量并积分,得的通解为
。
高阶线性微分方程
关于线性方程的解的结构,给出四个定理:
定理1 如果函数与是方程
的两个解,那么
也是方程的解,其中、是任意常数。
定理2 如果函数与是方程
的两个线性无关的解,那么
就是方程的通解,其中、是任意常数。
推论如果是阶齐次线性方程
,
的个线性无关的解,那么,此方程的通解为
,
其中为任意常数。
定理3 设是二阶非齐次线性方程
的一个特解,是与非齐次方程
对应的齐次方程的通解,那么
就是二阶非齐次线性方程
的通解。
定理4 设非齐次线性方程
的右端是几个函数的和,如
,
而与分别是方程
与
的特解,那么就是原方程的特解。
定理3和定理4同样可以推广到阶非齐次线性方程。
常系数齐次线性微分方程的解法
二阶常系数齐次线性微分方程
二阶齐次线性微分方程
中,如果、的系数、均为常数,即
,
、为常数,时称为二阶常系数齐次线性微分方程,如果、不全为常数称为二阶变系数齐次线性微分方程。
二阶常系数齐次线性微分方程的解法(一般步骤):
写出方程的特征方程
求出特征方程的两个根
根据特征方程两个根的不同情形,按照下表写出微分方程的通解:
特征方程的两个根
微分方程的通解
两个不相等的实根
两个相等的实根
一对共轭复根
阶常