文档介绍：总结
高等代数
多项式
线性代数
矩阵
向量
方程组
计算
多项式
一元多项式
多元多项式
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基本概念:
次数:最基本的概念和工具
整除:多项式之间最基本的关系
带余除法:最基本的算法,判断整除.
最大公因式:描述多项式之间关系的复杂程度
互素:多项式之间关系最简单的情形
既约多项式:最基本的多项式
根:最重要的概念和工具
一元多项式
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重要结论:
带余除法定理
对于任意多项式f(x)和非零多项式g(x),有唯一的q(x)和r(x)使得
f(x)=g(x)q(x)+r(x),r(x)=0或degr(x)<degg(x).
最大公因式的存在和表示定理
任意两个不全为0的多项式都有最大公因式,且对于任意的最大公因式d(x)都有u(x)和v(x)使得
d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)
互素
f(x)和g(x)互素有u(x)和v(x)使得
f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.
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因式分解唯一定理
次数大于1的多项式都可分解成有限个既约多项式之积,且不计因子次序和常数因子倍时,分解唯一.
标准分解定理
每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解
其中a是非零常数, p1,…,pt, 是互不相同的首一既约多项式, n1,…,nt是正整数. 进一步,a, p1,…,pt,n1,…,nt由f唯一确定.
重因式
f无重因式当且仅当f与其导式互素.
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代数学基本定理:
下列陈述等价,
复数域上次数≥1的多项式总有根
复数域上的n次多项式恰有n个根
复数域上的既约多项式恰为一次式
复数域上次数≥1的多项式可分解成一次式之积.
实数域上的次数>1的既约多项式只有无实根的二次式
实数域上次数≥1的多项式可分解成一次式和二次式之积
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实数域上的标准分解定理
在实数域上,每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解
其中a是f的常数项, x1,…,xt 是f全不互不相同的根, p1,…,pt是互异、首一、无实根的二次式.
复数域上的标准分解定理
在复数域上,每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解
其中a是f的常数项, x1,…,xt 是f全部互不相同的根, n1,…,nt分别是这些根的重数.
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多项式作为函数:
两个多项式相等(即对应系数相同)
它们作为函数相等(即在每点的函数值相等)
它们在k+1个点的函数值相等,这里k是它们次数的最大者.
设f(x)=anxn+...+a1x+a0,若f(x)在n+1个点的函数值为0,则f(x)恒等于0.
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Eisenstein判别法:
设是整系数多项式,若有素数p使得
则f(x)是有理数域上的既约多项式.
有理根:有理根的分母整除首项系数,分子整除常数项
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重要结论
若多项式的值全为0,则该多项式必为0.
每个n次多项式f均可唯一地表示成齐次多项式之和,fn≠0,且其中fi是0或i次齐次多项式,0≤i≤n,fi称为f的i次齐次分量.
基本概念:
次数、齐次分量、字典序、首项、对称多项式
多元多项式
对称多项式基本定理每个对称多项式,都可唯一地表示成初等对称多项式的多项式
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