文档介绍：第九章随机过程 I:随机微积分 1
第九章随机过程 I:随机微积分
7 基础微积分
7 线性代数
8 概率论
9 随机微积分 10 鞅
11 偏微分方程 11 数值方法
介绍 直接计算
定义 伊藤定理
统计特征 直观推导
多维情形 应用举例
过程分类 多维情形
一些重要的随机过程 随机微分方程
二项过程 随机过程模型
布朗运动和伊藤过程 解的性质和形式
泊松过程 显性解的例子
随机伊藤积分 应用
动机 期权定价
直观定义 随机动态规划
本章的学习目标为:
了解随机过程的定义、描述方法和重要数值特征以及基于分布函数的分类方法
掌握二项过程并熟练运用二项树建模方法
掌握布朗运动和维纳过程的定义和特征并认识到它在连续时间随机分析中的
重要作用和核心地位
掌握并熟练运用一般维纳过程、几何布朗运动和伊藤过程来构造金融资产价格
运动模型
了解泊松过程的定义和特征,认识它在构造金融市场上突发事件时的作用
明确基于均方收敛的随机伊藤积分的定义以及它与随机微分之间的联系
了解伊藤定理的直观推导过程并熟练应用伊藤定理进行计算
熟练应用随机微分方程模型来构造不同金融资产价格运动模型
了解随机微分方程解的形式,特别要掌握两种重要的显性解情形
掌握期权定价的传统布莱克-休尔斯偏微分方程方法
掌握最优个人消费/投资问题的随机动态规划方法
有了前面的准备工作,我们现在就可以着手学习,研究现代金融理论所必须也是最重要
的数学工具——随机过程理论了。为什么金融理论研究中一定要使用随机过程理论呢?这是
因为在金融现象中一些主要价格指标例如利率、汇率、股票指数、价格等等都表现出一定的
随机性(randomness)。股票价格明天会是多少,一直吸引和困惑了最富有头脑的理论家和实
践者,早期金融思考就是试图对这个问题作出令人信服的回答1,越来越多的证据显示:人
们倾向认识到,试图超越市场去预测价格走势,总体上是徒劳的,只有通过使用随机过程理
1 有兴趣的读者可以参考伯恩斯坦(Bernstein,1990)。
第九章随机过程 I:随机微积分 2
论在概率的意义上去描绘,才能给问题的解决提供一个可靠的基础2。这也是我们在整个金
融数学的学习过程中遇到的最困难的部分。为了降低难度,我们把整个随机过程理论分为两
个相对独立的部分。
第一部分也就是在这一章中,我们要建立随机微积分的理论框架。首先会通过直观的例
证来给出随机过程的定义,简单地对它们进行分类和特征描述;然后介绍一些重要的和在微
观金融分析中经常要使用到的随机过程种类;由于要处理随机变量的变化过程,我们必须了
解随机微分和它存在的条件,而这势必又要求先建立起随机(伊藤)积分的正确概念,在上述
基础上就可以推导出解释随机变量之间变化关系的随机微积分法则——著名的伊藤定理;最
后则是随机微分方程模型的构造和求解3。整个学习过程需要对经典数学分析中的极限、微
分和积分概念做推广,这是一套完全不同于经典微积分的法则,在反复的运用和实际的例子
中,我们会对它逐渐熟悉起来。
微观金融学中使用上述随机微积分技术来研究诸如衍生金融产品定价、动态消费/投资
决策等问题。以随机过程为基础的最优化方法归属于动态随机规划方法之下,以 Samuelson、
Merton、Black、Scholes 等人的研究成果为最杰出的代表。本章中就提供它们的最重要两种
应用——为欧式看涨期权定价和求解动态消费/投资问题。
第二部分则是被称为随机过程一般理论的鞅理论,相对于本章中的内容而言,它更为抽
象,并借重测度理论。但它提供对于随机过程更深入本质的理解,而且在实践当中,它还提
供更为强大的计算能力,因而它日益成为金融经济学家们的主流数学工具。我们将在下一章
中“亲密接触”这个理论体系。
金融相关点 9-1:有效率的市场?!
微观金融理论中的效率和我们在经济学中接触到的效率一词的含义是有所不同的。我
们知道,经济学中的效率往往指帕累托(Pareto)效率。在一个经济体系中,如果不能以牺
牲哪怕一个人的利益为代价来换得他人福利状况改善的情形,被称为是具有帕累托效率4。
但是我们说如果市场上资产价格已经充分地反应了所