文档介绍：现以2000年、2001年第十二届,第十三届“五羊杯”(广东省数学会举办)初中数学竞赛试题的有理数竞赛题为例,介绍有关解题方法。
例1 8 642 097 531、6 420 875 319、4 208 653 197、2 086 431 975、864 219 753的平均数是()。
(A)4 444 455 555
(B)5 555 544 444
(C)4 999 999 995
(D)5 999 999 994
解注意已知五个数的特点:右起1至5位每位数字之和为1+3+5+7+9=25,6至10位每位数字之和为0+2+4+6+8=20,于是五个数的平均数为4 444 455 555。选A。
例2 已知 68 9□□□20 312≈690亿(四舍五入),那么其中三位数□□□有()种填写的方法。
(A)1 000
(B)999
(C)500
(D)499
解可填500,501,502,…,999,共500种填法。选C。
例3 不超过700π(π是圆周率)的最大整数是()。
(A)2 100
(B)2 198
(C)2 199
(D)2 200
解∵ 5<π< 6,故2 <700π<2 。所以应选C。
例4 (++++++++)
÷(+++
【内容综述】
一般地,式子叫做二次根式。在解决有关根式的化简与求值问题时,需要同学们熟练地掌握根式的性质、运算法则等知识。另外,特别要掌握好如下的二个重要性质:
(1)。
(2)
【要点讲解】
在这一部分中,通过例题的解答,介绍有关二次根式的化简、求值、分母有理化等方面的知识,同学们要认真体会其中的解题方法和技巧。
★★例1、化简.
思路通过分类讨论去掉根号。
解原式
例2、化简
思路用待定系数法把11-6表示成一个完全平方式。
解设11-6 (
则
所以
解得或
说明本题还可用配方法来化简,请读者自己来试一试。
★★★例3、分母有理化。
★★★例4 化简
思路对分子进行重新的分解组合,使之与分母有公共的因式。
解法1 原式=
=
解法2 原式
说明对于这种分式型的根式问题的化简,常用的思路就是对于分子进行巧妙地分解、组合,使之出现分母中的形式,达到化简的目的。
★★★例5 若。
思路先化简已知条件的复合二次根式,和所求化数式,然后再求值。
说明本题通过变形已知条件得到,然后利用这个条件进行整体代换,大大简化了运算过程。这种解题策略在条件求值问题中经常运用。
★★★例6 设的整数部分为a,小数部分为b,求a-b(2b+1)的值。
★★★★例7 化简
由
当时,
当n<-2(除n= -2,因它使分母为零)时,
= -,
,
∴
=
=
★★★★例8 设
且,
求的值。
解: 设显然k≠0,则
由已知得
即
∴
由已知得
∴
说明:当题目中的变量较多时,常常引入一个参数,使得每个变量都用这个参数表示出来,这样便于化简。
★★★★例9
设。则与S最接近的整数是多少?
思路:所求式的各项的特征都相同,故可先研究每项的一般形式的结构,即所谓“通项的结构”。
解:当n为整数时,有
=
=
=
∴
故与X最接近的整数是1999。
说明:如果所求式子各项的特征相同时,一般要先研究清楚通项的特点,然后再具体到每一项,这是从一般到特殊的思维方法。
强化训练
A级
★★1、___________
★★★2、若则_____________
★★★3、若0<a<1, 则可化简为_________
★★★4、设,求的值。
B级
★★★5、若[a]表示实数a的整数部分,则=
★★★6、分母有理化,___________
★★★7、自然数满足。则_________
★★★8、已知化简
参考答案
A 级
1、-2
提示:原式=
=
2、7
提示:
∴
∴
3、
提示:原式=
,∴,∴原式=
4、1152
提示:由条件知所以从而,
原式=
=
=
5、2
提示:
=
6、
提示:原式=
=
=
7、10或14
提示:已知条件的两边平方得,
又由题设知是自然数,且或
当时,这