文档介绍：第四节矩阵的秩
矩阵
中,任取
行与
列
位于这些行列交叉处的
个元素,
中的相对
阶行列式,
的一个
阶子式.
中,取第1、2行和第2、4列交叉处的元素,组成的二
为
的一个二阶子式.
矩阵的秩是矩阵的一个重要数值特征,是研究矩阵的重要概念.
为了建立矩阵的秩的概念,先给出矩阵的子式的定
义.
一、矩阵的秩的概念
在
位置组成的
例如,在矩阵
阶行列式
按它们在矩阵
称为
有了子式的概念,就可以定义矩阵的秩.
中有一个不等于零的
阶子式
,且所有
阶子式(如果存在的话)全等于零,
称为
的最高阶非
称为矩阵的秩,记作
.并规定零矩阵的秩等于零.
中当所有
阶子式
阶的子式也全等于零,
的秩
就是
中不等于零的子式的最高阶数,
阶矩阵
的秩满足
. 显然,对任意矩阵
,
是唯一决定
与其转置矩阵
有相同的秩,即
定义2 设在矩阵
零子式,
由行列式按行(列)展开的公式知,
全等于零时,
不变,
那么
数
在
所有高于
因此
由定义知
的,
故矩阵
.
例12 求矩阵
与
的秩,其中
,
解在
中,容易看出一个2阶子式
的3阶子式只有一个
,经计算得
,因此
是一个行阶梯形矩阵,其非零行有3行,即知
的所有4阶
子式全为零,而以三个非零行的左边第一个非零元素为对角
线元素的3阶行列式
的值为2×3×4=24≠0,因此
从上例可知,当行数与列数较大时,一般的矩阵按定义求
但是对于行阶梯形矩阵,它的秩就等于其非零行的行数,一看便知不用计算.
本段介绍用初等行变换把矩阵化为行阶梯形矩阵,.
化为
,
的子式与
的子式的对应关系有下列三种情形:
的子式即为
的某个子式;
的子式为
的某一个子式交换行的位置得到;
的子式由
的某一个子式的某一行乘以非零数
与
对应的子式或者同时为零,,
二、矩阵秩的计算
定理6 初等变换不改变矩阵的秩.
证只就初等行变换的情况加以证明,至于初等列变换的情况类似可证.
如果使用第一种或第二种初等行变换把
秩是很麻烦的.
当使用第三种初等行变换把
化为
(比如
)时,
的任意一个
阶子式
分三种情形讨论:
不含第
行元素;
同时含第
行和第
行元素;
含第
行但不含第
行元素.
中与
对应的子式
,
,故
;对第三种情形,有
以上等式右端第一个行列式为
的
阶子式,
的一个
阶子式交换两行的位置得到,
在前两种情形,由行列式的性质,对
列式可由
考虑
而第二个行
故它们均等
.
以上证明了如果
经过一次第三种初等行变换化为
,那么
的任意
阶子式都等于零,
由于
也可经一次第三种初等行变换化为
,故也有
从而
证毕
经过有限次初等变换变为
,那么
由此便得求矩阵的秩的方法:
由定理6,如果
矩阵,行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩.