文档介绍：引言:历年数学高考考题中都或多或少的出现了二次函数题,所考查的内容涉及许多重要的数学思想及方法,如分类讨论、数形结合、函数方程思想;配方法、换元法、赋值法等。要求学生掌握二次函数的概念,掌握其图象、性质及图象与性质的关系,能灵活地运用“三个二次”的相关知识解题。充分体现了学生对函数内容的把握程度,是数学高考中一个永恒的话题,真可谓“考你千遍也不厌倦”。形如的函数叫做关于的一元二次函数,其定义域为,图象是一条抛物线,对称轴方程,顶点坐标。学****时应重点掌握下列内容:
⑴合理选择二次函数的解析式。
*三种常用表达式:①(定义式);②(顶点式);③(两根式)。
【例题1】已知是二次函数,且满足,则。
〖解答〗
【例题2】设二次函数的图象的顶点是,与轴的两个交点之间的距离为6,求这个二次函数的解析式。
〖解答〗
【例题3】设二次函数,方程的两个根满足
,当时,证明:
〖解答〗
⑵熟练掌握二次函数的图象和性质。
二次函数
y=ax2+bx+c, (a>0)
y=ax2+bx+c, (a<0)
定义域
x∈R
值域
(最值)
图象
抛物线(略),精确度要求不高时作二次函数图象先考虑二次项系数的符号,确定图象的延伸方向;然后考虑对称轴方程,确定图象的左右位置;再考虑顶点坐标,确定图象的上下位置;最后考虑与轴的交点,确定图象的开口大小。
顶点
对称轴
开口方向
开口向上
开口向下
奇偶性
b=0时,是偶函数;b≠0,是非奇非偶函数。
单调性
递增区间
递减区间
递减区间
递增区间
【例题1】函数是单调函数的充要条件是( )
≥0 ≤0 >0 <0
〖分析〗二次函数的单调性受二次项系数(决定左增右减还是左减右增)和对称轴方程(决定单调性分界位置)共同制约。因函数的图象开口方向向上,对称轴方程为,则区间应是的子区间,,故选A。
【例题2】已知函数,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是( )
〖分析〗即图象开口向上,与轴交点在原点下方,故应选D。
【例题3】集合={},={},,求实数的取值集合。
〖解答〗
⑶深刻理解二次函数在区间上的最值问题。
〖探究〗最值问题常与函数求值域问题相联系,则我们先求函数分别在区间上所对应的值域,由配方法化成顶点式,确定图象开口方向及对称轴方程,再结合图象、性质(单调性)作答,如能取到最值,应分别在区间端点或顶点处取得,特别对含参数的二次函数,要讨论区间与对称轴的变化情况。
〖解答〗
【注意】二次函数在区间上的最值问题应主要考查函数对称轴与区间的位置关系,若在区间内则该点处必取一个最值,如有另一个最值应在离对称轴最远的区间端点处取得;若在区间外,如有最值应取在区间端点处,最值是最大值还是最小值要结合图象的开口方向及单调性判断。高中阶段我们主要研究:①二次函数在闭区间[m,n]上的最值;②二次函数在区间定(动),对称轴动(定)时的最值。
【思考】(以a>0为例)对于二次函数,设令结合函数图象则相应值域(最值)为:
观察值域中最大值、最小值的变化情况易得:求闭区间上二次函数的最值应先看二次项系数,含参数时要讨论,再把对称轴与区间端点及区间中点进行比较分类,如当时,求最小值分3种情况,即在区间端点处讨论;求最大值分2种情况,即在区间中点处讨论。当时规律相反。
【例题1】求函数在区间上的最值,并求此时的的值。
〖解答〗函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上。
【例题2】已知函数在区间[0,1]上的最大值是2,求实数的值。
〖解答〗
【例题3】求函数在区间上的最大值。
〖解答〗
⑷透彻领悟“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的内在联系。
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
函数y=ax2+bx+c,
(a>0)的图象
方程ax2+bx+c=0
的根
无实根
不等式ax2+bx+c>0的解集
x<x1或x>x2
x≠x1,2
R
不等式ax2+bx+c<0的解集
x1<x<x2
Φ
Φ
*两条规律:①二次函数的图象与轴的交点的横坐标即二次方程的根,且对称轴方程为;②不等式(或)的解集为图象上方(或下方)的点的横坐标的集合。
【注意】当时要转化、化归成时的情况求解。
【例题】已知关于的不等式的解集是,求不等式的解集。
〖解答〗
*一种应用:不等式恒成立的条件,令。
【例题1】若关于的不等式对一切实数都成立,求实数的取值范围。
〖解答〗
【例题2】已知函数对任意,恒成立,求满足的条件。
〖解答〗由已知只需
【例题3】设,当时恒成立,求实数的取值范围。
〖解答〗
*二次不等式解法探究:
一、一元二次不等式解法有(1)图