文档介绍：2013年二模试题分类解析——立体几何理
(2013年二模房山理16)
如图, 是正方形, 平面,
,.
(Ⅰ) 求证:;
(Ⅱ) 求二面角的余弦值;
(Ⅲ)设点是线段上一个动点,试确定点的位置,
使得平面,证明你的结论.
(Ⅰ)证明: 因为平面,
所以. ……………………1分
因为是正方形,
所以,
所以平面, …………………3分
从而……………………4分
(Ⅱ)解:因为两两垂直,
所以建立空间直角坐标系如图所示. …………5分
设,可知. ……………………6分
则,,,,,,
所以,, ………………7分
设平面的法向量为,则,即,
令,则. …………………8分
因为平面,所以为平面的法向量, ,
所以………………………………………9分
因为二面角为锐角,所以二面角的余弦值为. …………10分
(Ⅲ)解:点是线段上一个动点,设.
则,
因为平面,
所以, ……………11分
即,解得. ……………13分
此时,点坐标为,,符合题意. ……………14分
(2013年二模东城理17)
如图,△是等边三角形, ,,将△沿折叠到△的位置,使得.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若,分别是,的中点,求二面角的余弦值.
(Ⅰ)证明:因为
所以,
又因为,且,
所以平面,
因为平面,
所以.
(Ⅱ)因为△是等边三角形,
,,
不防设,则,
又因为,分别为,的中点,
由此以为原点,,,所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系.
则有,,,,,.
所以,.
设平面的法向量为.
则
即
令,则.
所以.
又平面的一个法向量为.
所以.
所以二面角的余弦值为. ………………………………14分
(2013年一模西城理17)
如图1,四棱锥中,底面,面是直角梯形,(左)视图如图2所示.
(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)证明:∥平面;
(Ⅲ)线段上是否存在点,使与所成角的余弦值为?若存在,找到所有符合要求的点,并求的长;若不存在,说明理由.
【方法一】
(Ⅰ)证明:由俯视图可得,,
所以. ………………1分
又因为平面,
所以, ………………3分
所以平面. ………………4分
(Ⅱ)证明:取上一点,使,连结,. ………………5分
由左视图知,所以∥,. ………………6分
在△中,易得,, 所以, .
又因为∥,,所以∥,.
所以四边形为平行四边形,所以∥. ………………8分
因为平面,平面,
所以直线∥平面. ………………9分
(Ⅲ)解:线段上存在点,:………10分
因为平面,,建立如图所示的空间直角坐标系.
所以.
设,其中. ………………11分
所以,.
要使与所成角的余弦值为,则有, ………………12分
所以,解得或,均适合. ………………13分
故点位于点处,此时;或中点处,此时,有与所成角的余弦值为. ………………14分
【方法二】
(Ⅰ)证明:因为平面,,建立如图所示
的空间直角坐标系.
在△中,易得,所以,
因为, 所以, .
由俯视图和左视图可得:
.
所以,.
因为,所以. ………………2分
又因为平面,所以, ………………3分
所以平面. ………………4分
(Ⅱ)证明:设平面的法向量为,则有
因为,,
所以取,得. ………………6分
因为,
所以. ………………8分
因为平面,
所以直线∥平面. ………………9分
(Ⅲ)解:线段上存在点,:………10分
设,其中. ………………11分
所以,.
要使与所成角的余弦值为,则有, ………………12分
所以,解得或,均适合. ………………13分
故点位于点处,此时;或中点处,此时,有与所成角的余弦值为. ………………14分
(2013年二模丰台理17)
如图(1),等腰直角三角形ABC的底边AB=4,点D在线段AC上,于E,现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置(如图(2)).
(Ⅰ)求证:PBDE;
(Ⅱ)若PEBE,直线PD与平面PBC所成的角为30°,求PE长.
图(1) 图(2)
(Ⅰ),,DEPE, ……………….2分
, DE平面PEB,
x
y
z
, BP DE; ……………………….4分
(Ⅱ)PEBE, PEDE,,所以,可由DE,BE,PE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系(如图),……………………………………………………………5分
设PE=a,则B(0,4-a ,0),D(a,0,0),C