文档介绍：浅谈导数在研究函数中的应用
★知识梳理★
函数的单调性与导数的关系
一般地,函数的单调性与其导函数的正负有如下关系:
在某个区间内,如果,那么函数在这个区间内;如果,那么函数在这个区间内.
解析:单调递增;单调递减
2. 判别f(x0)是极大、极小值的方法
若满足,且在的两侧的导数异号,则是的极值点,是极值,并且如果在两侧满足“左正右负”,则是的,是极大值;如果在两侧满足“左负右正”,则是的极小值点,是
解析:极大值点;极小值.
: 求函数的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间,求导数f′(x) .
(2)求方程f′(x)=0的根.
(3)用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,
f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么f(x)在这个根处无极值.
:(1)求出在上的极值.(2)求出端点函数值.
(3)比较极值和端点值,确定最大值或最小值.
★重难点突破★
:熟悉利用导数处理单调性、极值与最值的一般思路,熟练掌握求常见函数的单调区间和极值与最值的方法
:与参数相关单调性和极值最值问题
:借助导数研究函数与不等式的综合问题
(1)在求可导函数的极值时,应注意可导函数的驻点可能是它的极值点,也可能不是极值点。
问题1. 设,.令,讨论在
内的单调性并求极值;
点拨:根据求导法则有,
故,于是,
2
减
极小值
增
列表如下:
故知在内是减函数,在内是增函数,所以,在处取得极小值.
(2)借助导数处理函数的单调性,进而研究不等关系关键在于构造函数.
,若在时恒成立.
(1)求证:函数在上是增函数;
(2)求证:当时,有.
点拨:
转化为为增函数等思考问题的方法是我们必须学会的.
(1)由得因为,
所以在时恒成立,所以函数在上是增函数.
(2)由(1)知函数在上是增函数,所以当时,
有成立,
从而
两式相加得
★热点考点题型探析★
考点1: 导数与函数的单调性
例1(08广东高考)设,函数,,,试讨论函数的单调性.
【解题思路】先求导再解和
【解析】
对于,
当时,函数在上是增函数;
当时,函数在上是减函数,在上是增函数;
对于,
当时,函数在上是减函数;
当时,函数在上是减函数,在上是增函数。
【名师指引】解题规律技巧妙法总结: 求函数单调区间的一般步骤.
求函数的导数(2)令解不等式,得的范围就是单调增区间;令解不等式,得的范围就是单调减区间(3)对照定义域得出结论.
[误区警示]求函数单调区间时,容易忽视定义域,如求函数的单调增区间,错误率高,请你一试,该题正确答案为.
例2: 若在区间[-1,1]上单调递增,求的取值范围.
【解题思路】解这类题时,通常令(函数在区间上递增)或
(函数在区间上递减),得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解.
解析:又在区间[-1,1]上单调递增
在[-1,1]上恒成立即在[-1,1]的最大值为
故的取值范围为
【名师指引】:本题主要考查函数的单调性与导数正负值的关系,要特别注意导数值等于零的用法.
例3. 当,求证
【解题思路】先移项,再证左边恒大于0
解析:设函数
当时, ,故在递增,当时,,又,,即,故
【名师指引】若要证的不等式两边是两类不同的基本函数,往往构造函数,借助于函数的单调性来证明
【新题导练】.
1. 若函数f(x)=x3-ax2+1在(0,2)内单调递减,则实数a的取值范围是
≥3 =2 ≤3 <a<3
分析:.
解析:f′(x)=3x2-2ax=3x(x-a),由f(x)在(0,2)内单调递减,得3x(x-a)≤0,
即a≥2,∴a≥:A
2. 函数y=x3+x的单调增区间为
A.(-∞,+∞) B.(0,+∞) C.(-∞,0)
解析:∵y′=3x2+1>0恒成立,∴y=x3+x在(-∞,+∞)上为增函数,没有减区间.
答案:A
3. 已知函数,,设.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立,求实数的最小值;
解析:(I),
∵,由,∴在上单调递增。
由,