文档介绍：导学目标: ,了解空间向量的基本定理及其意义,,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.
自主梳理
(1)空间向量:在空间中,具有______和______的量叫做空间向量.
(2)相等向量:方向______且模______的向量.
(3)共线向量定理
对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是______________________________.
推论如图所示,点P在l上的充要条件是:=+ta①
其中a叫直线l的方向向量,t∈R,在l上取=a,则①可化为=___________________或=(1-t)+t.
(4)共面向量定理
如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb,推论的表达式为=x+y或对空间任意一点O有,=__________________或=x+y+z,其中x+y+z=____.
如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=____________________________,把{a,b,c}叫做空间的一个基底.
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角
已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则________叫做向量a与b的夹角,记作________,其范围是________________,若〈a,b〉=,则称a与b______________,记作a⊥b.
②两向量的数量积
已知两个非零向量a,b,则______________________叫做向量a,b的数量积,记作________,即______________________________.
(2)空间向量数量积的运算律
①结合律:(λa)·b=____________________;
②交换律:a·b=________;
③分配律:a·(b+c)=________________.
(1)数量积的坐标运算
若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),
则a·b=____________________.
(2)共线与垂直的坐标表示
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),
则a∥b(b≠0)⇔____________⇔________,__________,________________,
a⊥b⇔________⇔_________________________________ (a,b均为非零向量).
(3)模、夹角和距离公式
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),
则|a|==_____________________________________________________________,
cos〈a,b〉==_________________________________________________________ .
若A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),
则||=__________________________________________________________________.
自我检测
=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且a∥b,则( )
=1,y=1 =,y=-
=,y=- =-,y=
2.(2011·青岛月考)
如图所示,在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点,若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是( )
A.-a+b+c +b+c
-b+c D.-a-b+c
3.(2011·广州调研)在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中,已知∠BAD=∠A′AB=∠A′AD=60°,AB=3,AD=4,AA′=5,则||=________.
:
①若p=xa+yb,则p与a、b共面;
②若p与a、b共面,则p=xa+yb;
③若=x+y,则P、M、A、B共面;
④若P、M、A、B共面,则=x+y.
其中真命题的个数是( )
(1,0,1),B(4,4,6),C(2,2,3),D(10,14,17)这四个点________(填共面或不共面).
探究点一空间基向量的应用
例1 已知空间四边形OABC中,M为