文档介绍：导数的应用(1)
【考点导读】
通过数形结合的方法直观了解函数的单调性与导数的关系,能熟练利用导数研究函数的单调性;会求某些简单函数的单调区间。
结合函数的图象,了解函数的极大(小)值、最大(小)值与导数的关系;会求简单多项式函数的极大(小)值,以及在指定区间上的最大(小)值。
【基础练习】
,则应满足的条件是。
[0,3]上的最大值、最小值分别是 5,-15 。
。
,最小值是。
(-∞,-2)与(0,+ ∞) 。
【范例导析】
例1.(1)对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)³0,比较f(0)+f(2)与2f(1)的大小: f(0)+f(2)³ 2f(1) 。
(2)在区间上的最大值是 2 。
解:(1)由题意得:当x³1时,f¢(x)³0,所以函数f(x)在(1,+¥)上是增函数;
当x<1时,f¢(x)£0,所以f(x)在(-¥,1)上是减函数,
故f(x)当x=1时取得最小值,即有f(0)³f(1),f(2)³f(1);
(2)当-1£x<0时,>0,当0<x£1时,<0,
所以当x=0时,f(x)取得最大值为2。
点评:用导数求极值或最值时要掌握一般方法,导数为0的点是否是极值点还取决与该点两侧的单调性,导数为0的点未必都是极值点,如:函数。
例2. 求下列函数单调区间:
(1) (2)
(3) (4)
解:(1)∵∴时
∴,
(2) ∴,
(3) ∴,
∴, ,
(4) 定义域为
点评:熟练掌握单调性的求法,函数的单调性是解决函数的极值、最值问题的基础。
(x)= (Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)讨论f(x)的极值。
解:由已知得,令,解得。
(Ⅰ)当时,,在上单调递增;
当时,,随的变化情况如下表:
0
+
0
0
极大值
极小值
从上表可知,函数在上单调递增;在上单调递减;在上单调递增。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当时,函数没有极值;
当时,函数在处取得极大值,在处取得极小值。
点评:本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识,以及运用数学知识解决实际问题的能力。
:(1)
(2) (3)
证明:(1)设, 则,
又∴为上
∴恒成立∴
设
又∴在上
∴恒成立
∴
(2)原式令
∴∴
∴
(3)令
∴
∴
点评:构造函数证明不等式主要是利用函数的最大(小)值来解决。
,函数设,记曲线在点处的切线为。(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)设与轴的交点为,证明:①②若,则
解:(1)的导数,由此得切线的方程:,
(2)依题得,切线方程中令,得
,其中,
(ⅰ)由,,有,及,
∴,当且仅当时,。
(ⅱ)当时,,因此,,且由(ⅰ),,
所以。
【反馈演练】
,下列说法不正确的是(4) 。
(1)在区间(,0)内,为增函数(2)在区间(0,2)内,为减函数
(3)在区间(2,)内,为增函数(4)在区间(,0)内,为增函数
,有,,则此函数为。
=2x3-3x2-12x+5在[0,3]