文档介绍：解三角形
解三角形
一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。
:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即
①,,
②,,
③==
④
正弦定理:
:
(1) ,;
(2),
(3),
(利用向量数量积的几何意义即投影的知识证明):
(1)
(2)
(3)
已知三角形两边以及一边的对角,假设已知A角以及a边、b边,则由余弦定理得
即,得到一个关于C的一元二次方程,通过求解即可得到三角形解的个数
(1)当时,C的解就有2个不同的解,因此三角形便有两个。
(2)当时,C的解就有2个相同的解,因此三角形便有一个。
(3)当时,C的解就有无实数解,因此不存在这样的三角形。
已知三角形的三边或者两边一角,可以判断三角形的形状。(锐角、钝角、直角,等腰、非等腰)
锐角、钝角、直角三角形的判定,判定方法:由得,
当时,,,为锐角三角形
当时,,,,为直角三角形
当时,,,,为钝角三角形
解三角形中需要注意:
(1)一般情况下我们在解三角形中采用的方法是“边化角、角化边”,也就是说我们一般要将所求的式子化成全部都是角的形式或者边的形式,利于我们采用正弦定理和余弦定理以及三角函数的知识解题。
(2)正确选用正弦定理和余弦定理:我们一般遇到一次形式的式子以及带有比例的式子可以考虑使用正弦定理;如果遇到二次的式子或者通过边来求角的问题一般采用的是余弦定理。
(3)我们还需要注意一点的是余弦定理可以利用边来求角,但是正弦定理只可以得到角的正弦的比值,而不可以得到角的比值甚至具体的值。
(4)其次,我们在解题中还需要考虑一些基本的知识,例如“大角对大边,小角对小边”等等。
(5).解题中利用中,以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算,如:
..
注意:在锐角三角形中,任意两角之和大于.
例题讲解
1:在△ABC中,若,求的值.
解析:由条件∴
同理可得∴==
2. (福建14)若△ABC的面积为,BC=2,C=,则边AB的长度等于_____________.
【答案】2
【解析】由于△ABC的面积为,BC=2,C=,所以,所以AC=2, △ABC为正三角形,所以AB=2.
3. (辽宁17)在中,内角对边的边长分别是,已知,.
(Ⅰ)若的面积等于,求;
(Ⅱ)若,求的面积.
解:(Ⅰ)由余弦定理得,,
又因为的面积等于,所以,得. 4分
联立方程组解得,. 6分
(Ⅱ)由正弦定理,已知条件化为, 8分
联立方程组解得,.
所以的面积. 12分
4.(全国Ⅱ17)在中,,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)设,求的面积.
解:(Ⅰ)由,得,
由,.
(Ⅱ)由正弦定理得.
所以的面积.
5. (重庆17)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,,求:
(Ⅰ)A的大小;
(Ⅱ)的值.
解:(Ⅰ)由余弦定理,
(Ⅱ)
6. (湖北16)(本小题满分10分)
设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为,已知.
(Ⅰ) 求△ABC的周长