文档介绍：万源中学袁毅
知识复习+梳理
解排列组合问题的
常用技巧
完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有 m1种不同的方法,在第2类办法中有m2 种不同的方法,…,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有:
种不同的方法.
复习巩固
(加法原理)
完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2 种不同的方法,…,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有:
种不同的方法.
(乘法原理)
分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件.
分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。
复习回顾
排列数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,
按照一定的顺序排成一列,叫做从n个
不同元素中取出m个元素的一个排列.
从
n
m个元素的排列数。
n个不同元素中取出
叫做从
所有排列的个数,
个元素的
个不同元素中取出
m(m≤n)
排列
排列数公式
!
m
n
-
)!
n
=
(
我们规定:0!=1
复习回顾
组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,
并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
从
n
m个元素的组合数。
n个不同元素中取出
叫做从
所有组合的个数,
个元素的
个不同元素中取出
m(m≤n)
组合
组合数公式和两个重要性质
解决实际问题时首先要看是否与顺序有关,从而确定是排列问题还是组合问题,必要时要利用分类和分步计数原理.
强调:排列——次序性;
组合——无序性.
在处理问题时,一般可采用直接和间接
两种思维形式,从而寻求有效的解题途径.
解决排列组合综合性问题的一般过程如下:
,即采取分步还
是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多
少步及多少类。
(有序)还是
组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多
少个元素.
※解决排列组合综合性问题,往往类与步交
叉,因此必须掌握一些常用的解题策略,
以下来讲解这些常用策略
(优先法)
,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字
五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安
排,以免不合要求的元素占了这两个位置
先排末位共有___
然后排首位共有___
最后排其它位置共有___
由分步计数原理得
=288
位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件,往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件
(捆绑法)
例2. 7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相
邻, 共有多少种不同的排法.
甲
乙
丙
丁
由分步计数原理可得共有
种不同的排法
=480
解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成
一个复合元素,同时丙丁也看成一个
复合元素,再与其它元素进行排列,
同时对相邻元素内部进行自排。
要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用
为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时
要注意合并元素内部也必须排列.
(插空法)
,2个相声,3个
独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出
场顺序有多少种?
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共
有种,
第二步将4舞蹈插入第一步排
好的5个元素中间包含首尾两个空位共有
种不同的方法
由分步计数原理,节目的
不同顺序共有种
相
相
独
独
独
元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端