文档介绍：2006 年浙江省大学生高等数学(微积分)竞赛试题及其解答
一、计算题(每小题 15 分,满分 60 分)
1
lim[(2−+x )exx ]
x→∞
1 11 (21)1te−+t
[解 1] 令 t = ,原式=−+=lim[(2 )ettt ] lim =+lim(2 1)e= 1
x xxt→→→000tt t
11
−−
22x 1x
11−+1 ee −+
2 − 22
[解 2] 原式=−+==limxexx ( 1 e ) lim xxlim x
xxx→∞→∞ 11→∞
x −
xx2
1
−
=−lim(2e x )= 1
x→∞
ln(2+−x ) ln(1 +x )
2. 求 dx
∫ x2 ++32x
[解] 原式
11
=[ln(2 +−+x ) ln(1xd )]( −)xxx =−+−+ [ln(2 ) ln(1 )]dx [ln(2 +−+ ) ln(1x )]
∫∫x ++12x
1
=−[ln(2 +x ) − ln(1 +xC )]2 +
2
⎧ xt=−2 2 t
3. 求曲线在处的切线方程.
⎨ y 2 t = 0
⎩ytearctan +=e
[解] 当t = 0 时, xy(0)= 0, (0)= 2 .第二式两边对t 求导,且 yyt= (),
y dy 2
得 yt′′arctan ++= yey 0 . 该式中令 ty= 0,= 2 解出 y′(0) =−,
1+ t 2 dtt=0 e2
dx dy 1
又=−(2t 2) =− 2 . 因此= ,所求曲线 yfx= ()在 t = 0 处的切
dt tt==00 dxt=0 e2
x
结方程为 y =+2
e2
x
fx()= ,求 f (10) ()x .
1+ x
11
−
22
[解] f ()xx=+ ( 1) −+ ( x 1) =− yy12
1
119
−−12
11221(10) (−1)(1⋅⋅3" ⋅17)
yx11′′=+(1), y′= (1)(1),, −+ x" y1 =
222 2(1)10 x + 19
119
−−12−−
1 221 1 (10) (− 1) (1⋅⋅ 3" ⋅ 17 ⋅ 19)
yx22′′=−(1), + y′=−( −− 1)(1),, x + " y2=
222 2(1)10 x + 21
(10) (10) (10) (1⋅ 3⋅⋅" 17) 19 17!!x + 20
fxy()=−=−12 y (1 + ) =−10
2(1)10 x + 19 x +12(1)1xx+ 10 +
x3
二、(满分 15 分)设 fx()=− ex ,问 fx()= 0有几个实根?并说明理由.
6
xx23 xn
[解] exx =+1( + + +"" + +x ∈R)
2! 3!n !
x2 11
又 fx′′′()=− ex ,