文档介绍：控制系统的数学描述与建模
MATLAB技术应用
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控制系统的数学描述与建模
控制系统的数学模型在控制系统的研究中有着相当重要的地位,要对系统进行仿真处理,首先应当知道系统的数学模型,然后才可以对系统进行模拟。同样,如果知道了系统的模型,才可以在此基础上设计一个合适的控制器,使得系统响应达到预期的效果,从而符合工程实际的需要。
在线性系统理论中,一般常用的数学模型形式有:传递函数模型(系统的外部模型)、状态方程模型(系统的内部模型)、零极点增益模型和部分分式模型等。这些模型之间都有着内在的联系,可以相互进行转换。
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系统的分类
按系统性能分:线性系统和非线性系统;连续系统和离散系统;定常系统和时变系统;确定系统和不确定系统。
线性连续系统:用线性微分方程式来描述,如果微分方程的系数为常数,则为定常系统;如果系数随时间而变化,则为时变系统。今后我们所讨论的系统主要以线性定常连续系统为主。
线性定常离散系统:离散系统指系统的某处或多处的信号为脉冲序列或数码形式。这类系统用差分方程来描述。
非线性系统:系统中有一个元部件的输入输出特性为非线性的系统。
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线性定常连续系统的微分方程模型
微分方程是控制系统模型的基础,一般来讲,利用机械学、电学、力学等物理规律,便可以得到控制系统的动态方程,这些方程对于线性定常连续系统而言是一种常系数的线性微分方程。
如果已知输入量及变量的初始条件,对微分方程进行求解,就可以得到系统输出量的表达式,并由此对系统进行性能分析。
通过拉氏变换和反变换,可以得到线性定常系统的解析解,这种方法通常只适用于常系数的线性微分方程,解析解是精确的,然而通常寻找解析解是困难的。MATLAB提供了ode23、ode45等微分方程的数值解法函数,不仅适用于线性定常系统,也适用于非线性及时变系统。
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电路图如图,R=,L=2亨,C=,初始状态:电感电流为零,,t=0时刻接入1V的电压,求0<t<15s时,i(t),vo(t)的值,并且画出电流与电容电压的关系曲线。
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传递函数描述
对线性定常系统,式中s的系数均为常数,且a1不等于零,这时系统在MATLAB中可以方便地由分子和分母系数构成的两个向量唯一地确定出来,这两个向量分别用num和den表示。
num=[b1,b2,…,bm,bm+1]
den=[a1,a2,…,an,an+1]
注意:它们都是按s的降幂进行排列的。
连续系统的传递函数模型
连续系统的传递函数如下:
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传递函数
MATLAB中创建传递函数(TF)对象
创建两个行向量,按降阶顺序分别包含分子和分母多项式中s各次幂的系数
使用tf命令建立TF对象
例如:
>> numG=[4 3];denG=[1 6 5];
>> G1=tf(numG,denG)
或
>> G1=tf([4 3],[1 5 6])
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零极点增益模型
零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式,其原理是分别对原系统传递函数的分子、分母进行分解因式处理,以获得系统的零点和极点的表示形式。
在MATLAB中零极点增益模型用[z,p,K]矢量组表示。即:
z=[z1,z2,…,zm]
p=[p1,p2,...,pn]
K=[k]
函数tf2zp()可以用来求传递函数的零极点和增益。
K为系统增益,zi为零点,pj为极点
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零极点增益模型
零点、极点、增益形式(ZPK)表示
输入零点和极点列向量及标量形式的增益
使用zpk命令建立ZPK对象
例:
>> zG=-;pG=[-1;-5];kG=4;
>> G2=zpk(zG,pG,kG)
或者:
>> G2=zpk(-,[-1;-5],4)
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传递函数
两种形式互换
TF形式变换为ZPK形式
Gzpk=zpk(Gtf)
[zz,pp,kk]=zpkdata(Gzpk,’v’)
%获得G(s)的零点、极点和增益
ZPK形式变换为TF形式
Svv=tf(Sxx)
[nn,dd]=tfdata(Svv,’v’)
%获得分子分母多项式系数
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