问题的提出.doc

文档介绍：问题的提出
测试题目:在△ABC中,∠C=90°,若sinA+cosA=53, 求sinA·cosA的值。
讲评时,我请一位学生板演这道题目的解答过程:
∵sinA+cosA=53 ,∴(sinA+cosA)2=( 53 )2,∴sin2A+2sinA·cosA+cos2A=259,
∴sinAcosA=89
问题的质疑
得出答案后,学生1突然举手,“教师,我觉得这道题的解答不对,”
学生、我用计算器试了试∠A取不同的锐角度数时,,而这道题结果sinAcosA=89 ﹥,故是错的
此时,同学们纷纷计算sinAcosA的值,但仍不知错在哪儿?
教师(引导分析):已知两数(sinA和cosA)之和,求这两个数之积,常用完全平方公式,而且应用“同角三角函数”中的“平方关系”,即sin2A+cos2A=1,得到sinAcosA=89 ,看不出有什么错误。
如果知道了两数之和,又知道这两数的积,便可得到一个以这两个数为根的一元二次方程:x2-53x+89=0,由一元二次方程可想到判别式△=(-53)2-4×1×89=-79 <0,这时问题出现了,此一元二次方程无根。
问题到底出在哪儿?认真观察解题过程的每一步,并没出现错误,那么错误只能源于题目中,即条件sinA+cosA=53错误的。
问题的解决
这个证明有一定难度,同学们不妨和教师一起从结论出发寻找思路吧。
首先:sinA+cosA≤2,则ac+bc≤2,a+b≤2c
∵a、b、c均为正数
∴两边同时平方得a2+2ab+b2≤2c2
由勾股定理得a2+b2=c2
∴2ab≤c2∴2ab≤a2+b2∴a2-2ab+b2≥0∴(a-b)2≥0成立
下面我们来证明这个结论:在Rt△ABC中,∠C=90°,则有1<sinA+cosA≤2
证明:∵Rt△ABC中,∠C=90°
sinA= ac ,cosA= bc ,a2+b2=c2
sinA+cosA=ac+bc=a+bc
在Rt△ABC中,∵a+b﹥c,
∴sinA+cosA=a+bc﹥1
又因为(a-b)2≥0
∴a2+b2≥2ab
∴2(a2+b2) ≥a2+2ab+b2
∴2(a2+b2) ≥(a+b)2
∴2c2≥(a+b)2
abc均为正数
∴2c≥a+b∴a+bc≤2
即sinA+cosA≤2
1<sinA+cosA≤2
教师:同学们敢于质疑,积极利用数学工具进行探索,得出了“当∠A为锐角时,1<sinA+cosA≤2”这一重要结论,这是大家勤于思考、勇于探究的结果,是集体智慧的结晶,下面若要对这道题进行改正,你将如何做?
学生:在△ABC中∠C=90°若sinA+cosA=65,求
sinAcosA的值。
学生:在△AB