文档介绍：利用轴对称求最短距离问题
基本题引入:如图(1),要在公路道a上修建一个加油站,有A,B两人要去加油站加油。加油站修在公路道的什么地方,可使两人到加油站的总路程最短?
你可以在a上找几个点试一试,能发现什么规律?
a
·A
·B
图1
·A
·B
a
·A′
M
图2
·A
·B
a
·A′
M
N
图3
思路分析:如图2,我们可以把公路a近似看成一条直线,问题就是要在a上找一点M,使AM与BM的和最小。设A′是A的对称点,本问题也就是要使A′M与BM的和最小。在连接A′B的线中,线段A′B最短。因此,线段A′B与直线a的交点C的位置即为所求。
如图3,为了证明点C的位置即为所求,我们不妨在直线a上另外任取一点N,连接AN、BN、A′N。
因为直线a是A,A′的对称轴,点M,N在a上,所以AM= A′M,AN= A′N。
∴AM+BM= A′M+BM= A′B
在△A′BN中,
∵A′B<A′N+BN
∴AM+BM<AN+BN
即AM+BM最小。
点评:经过复****学生恍然大悟、面露微笑,不一会不少学生就利用轴对称知识将上一道中考题解决了。思路如下:②∵BC=9(定值),∴△PBC的周长最小,就是PB+,点C关于直线DE的对称点是点A,显然当P、A、B三点共线时PB+=DE,PB+PA=∠ADF=∠FAE,∠DFA=∠ACB=90°,得△DAF∽△ABC. EF∥BC,得AE=BE=AB=,EF=.∴AF∶BC=AD∶AB,即6∶9=AD∶15.∴AD=10. Rt△ADF中,AD=10,AF=6,∴DF=8.∴DE=DF+FE=8+=.∴当x=时,△PBC的周长最小, y值略。
数学新课程标准告诉我们:教师要充分关注学生的学****过程,遵循学生认知规律,合理组织教学内容,建立科学的训练系统。使学生不仅获得数学基础知识、基本技能,更要获得数学思想和观念,形成良好的数学思维品质。同时每年的中考题也千变万化,为了提高学生的应对能力,除了进行专题训练外,还要多归纳多总结,将一类问题集中呈现给学生。
两条直线间的对称
题目1 如图,在旷野上,一个人骑马从A出发,他欲将马引到河a1饮水后再到a2饮水,然后返回A地,问他应该怎样走才能使总路程最短。
点评:这道题学生拿到时往往无从下手。但只要把握轴对称的性质就能迎刃而解了。作法:过点A作a1的对称点A′,作a2的对称点A〞,连接A′A〞交a1、a2于B、C,: A-B-C-A,所走的总路程为A′A〞。
A
C
B
E
D
B
C
a1
a2
A′
A″
A
第1题图
第2题图
二、三角形中的对称
题目2 如图,在△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是BC边上的中点,E是AB边上的一动点,则EC+ED的最小值是__
点评:本题只要把点C、D看成基本题中的A、B两镇,把线段AB看成燃气管道a,问题就可以迎刃而解了,本题只是改变了题目背景,所考察的知识点并没有改变。
三、四边形中的对称
题目3 如图,正方形ABCD的边长为8, M在DC上,且DM=2,N是AC上的动点,则DN+MN的最小值为多少?
点评:此题也是运用到正方形是轴对称图形这一特