文档介绍：物理极值之求法
介休一中曹正奇
利用三角函数求极值
一、型
将变形为,当时,有极值。
α
L
例1 某地区降雨量较大,在设计屋顶时,为使雨水尽快地流下,屋顶的倾斜角应该是多大?
分析与解设屋顶的倾角为,横梁的宽
度为L,如图所示。则雨滴的位移大小为
根据牛顿第二定律可知雨滴下滑的加速度为
雨滴在屋顶上做初速度为零的匀加速直线运动
由以上三式可得下滑时间为
可见当时,时间最短为
例2 如图所示,为防止电线杆被电线拉倒,可用一拉线拉住电线杆,问拉线如何设置可使拉线所受拉力最小?
分析与解设电线拉力大小为F1,离地高度为L,拉线长度为l,拉力大小为F2,拉线与水平面夹角为α,由力矩平衡条件有
α
l
F2
L
F1
整理可得拉线拉力大小为
可见当时,
拉力最小为
例3 一个四分之一圆弧形物体置于粗糙的水平面上,质量为的小球从静止开始由顶端无摩擦滑下,物体始终处于静止状态。试分析:当小球运动到什么位置时,地面对物体的静摩擦力最大?最大静摩擦力为多少?
o
α
F
mg
分析与解设圆弧半径为,当小球运动到圆心小球连线与竖直方向夹角为时,速度为,由机械能守恒定律有
由牛顿第二定律沿半径方向有
对物体,由平衡条件在水平方向有
由以上各式可得地面对物体的静摩擦力为
可见当时,静摩擦力最大为。
例4 重力是由于地球吸引而使物体受到的力,吸引力的方向指向地心,重力的方向竖直向下,试分析竖直向下的方向与指向地心方向的最大夹角。
分析与解设地球为一质量分布均匀的球体,其质量为M,半径为R,自转的角速度为ω,一个物体质量为m,处于纬度为θ的地球表面。如图所示。
根据万有引力定律可知,物体受到的万有引力为
方向指向地心
由牛顿第二定律知物体随着地球的自转做匀速圆周运动的向心力为
(1)
这个向心力是万有引力的一个分力,方向指向圆周轨道的圆心。
ω
f
m
W
F
O
R
θ
物体所受的重力为
(2)
方向竖直向下。
由图可知有
(3)
由(1)、(2)、(3)有
由上式可知,在南(北)纬处,竖直向下的方向与指向地心的方向有最大的夹角,大小为。
将、、代入并解可得
二、型
因为
,
可见,当时,y的极大值为。
例5 物体放置在水平地面上,物体与地面之间的动摩擦因数为,物体重为,欲使物体沿水平地面做匀速直线运动,所用的最小拉力为多大?
N
F
f
G
θ
图1
分析与解物体受力如图1所示,设拉力F与水平方向的夹角为θ,根据题意可列平衡方程式,即
……(1)
…(2)
由滑动摩擦定律有
…………(3)
联解(1)(2)(3)可得:
,
其中,
可见当时,拉力的最小值为
例6 船从港口出发,拦截正以速度沿直线航行的船,与船所在航线的垂直距离为,船起航时,船与点的距离为
,且,如图1所示。如果略去船起动时的加速过程,认为它一起航就作匀速运动,求船能拦到船所需的最小速率。
α
B
M
N
P
A
b
a
v0
图2
H
B
M
N
P
A
b
a
v0
图1
分析与解设两船相遇于点(见图2), 与间的夹角为,则船的位移
船的位移
因时间相等,故有
整理化简以上各式后有
其中
可见当
即当船速度方向与垂直时有最小值
例7 一条长度为L的细线,上端固定在O点,下端系着一个质量为m、带电量为+q的小球,将它们置于一个足够大的匀强电场中,电场强度为E,方向水平向右,把细线拉直并处于竖直位置,然后将小球由静止释放,如图1所示,试求:当细线与竖直方向夹角为多大时小球的动能最大,最大动能为多大。
图1
L
O
+q,m
E
分析与解小球被释放后,在重力、电场力和绳子拉力作用下,在竖直面里沿着圆弧来回摆动,其运动的性质是变加速曲线运动,在此过程中,重力势能、电势能、动能发生着周期性的相互转化。
如图2所示,设当细线与竖直方向所成角度为α时,小球的速度为。根据能量转化和守恒定律可得
其中
可见当时小球的动能最大为
α
qE
mg
L
O
+q,m
E
图2
三、型或型
将变形为
因为
根据基本不等式,定和求积知:
当且仅当,即时
y有最大值
例8 一个面积为的风筝,迎着水平方向速度为的风,浮在空中,为使风筝获得最大的升力,风筝与水平方向的夹角应为多大?
分析与解设空气密度为,则在时间内与风筝发生作用的空气质量为
设空气分子与风筝的碰撞是弹性的,则由动量定理,反射定律可得
v
v
F
α
α
由牛顿第