文档介绍：回顾: 倒数
1 定义: 设a是一个数, 若存在数b,使得
则称b是a的倒数, 记为b=
或 a-1.
2 判别: 数a有倒数的充要条件是
复****矩阵的概念
a≠0.
a
数本身即为1×1型矩阵
【】设A为一个方阵,若存在同阶方阵B,使得
一逆矩阵的概念
§3 逆矩阵
注:(1) 可逆矩阵必须是方阵;
(2) 若方阵A有逆矩阵,则逆是唯一的.
原因: 由Am×nBs×t=Bs×tAm×n=E,
AB=BA=E,
则称A是可逆矩阵,称B为A的逆矩阵,记为B=A-1.
原因: 若A有两个逆矩阵B和C, 即AB=BA=E, AC=CA=E, 则
B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.
则 m=n=s=t.
(1) 由EE=E知,单位矩阵E可逆,且E-1=E;
(2) 若A2=E, 则A可逆,且A-1=
A;
例:
(3) 若方阵A满足:A2+2A-E=O. 说明A可逆,并求A-1.
解:
由 A2+2A-E=O 得:
故由逆矩阵的定义知:A可逆,且 A-1= A+2E.
注: 求逆矩阵的方法之一:
A( )=E且
A
+2E
利用定义.
( )A=E.
A
+2E
【】设A是n阶方阵, 则
【证明思路】利用逆矩阵的定义.
(4)
所以由定义知:AB 可逆,且(AB)-1=B-1A-1 证毕.
B-1A-1 (AB)
(AB)B-1A-1
=A(BB-1)A-1
=AEA-1
=AA-1
=B-1(A-1A)B
=B-1EB =B-1B
二逆矩阵的性质
(1) 若A可逆, 则A-1也可逆,且(A-1)-1=A;
(2) 若A可逆, 数k≠0, 则kA也可逆, 且(kA)-1=k-1A-1;
(3) 若A可逆, 则AT也可逆, 且(AT)-1=(A-1)T;
(4) 若B与A是同阶可逆矩阵, 则AB也可逆, 且(AB)-1=B-1A-1.
=E,
=E.
运算顺序的交换性
(一) 伴随矩阵:
1 定义: 设方阵A=(aij)n×n,用|A|中元素aij的代数余子式 Aij 构成的矩阵:
称为A的伴随矩阵,记为A*.
三方阵可逆的充要条件
注意Aij的排列顺序!
灰常重要!
例:
解:
设A是n阶方阵,则
【证】
同理可得:
2 性质:
证毕.
最给力!
(二) 方阵可逆的充要条件
【】设A是n阶方阵,则A可逆的充要条件是
【证】必要性.
所以|A|≠0.
设,则由得:
从而A可逆,且证毕.
充分性.
设A是可逆矩阵,则AA-1=E,从而
|A| |A-1|=|E|=1,
若A与B都是方阵, 只需满足AB=E或BA=E之一,则B=A-1.
注:(1)
n阶方阵A可逆
(2)
【证】
(3) 定理给了我们一种求逆矩阵的方法:
(三)用伴随矩阵求逆矩阵
解:
所以A可逆,先计算伴随矩阵:
例: 设矩阵,求其逆矩阵A-1.