文档介绍：第三章曲线拟合的最小二乘法 /函数平方逼近初步
Numerical Analysis
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曲线拟合问题: (建立试验数据的模型)
在实际应用中,往往并不需要曲线通过给定的数据点,而只要求用曲线(函数)近似代替给定的列表函数时,其
误差在某种度量意义下最小。
函数逼近问题: (连续函数的逼近)
在实际应用中常需为解析式子比较复杂的函数寻找一个简单函数来近似代替它,并要求其误差在某种度量意义下最小。
可统称为最佳逼近问题
§ 拟合与逼近问题
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一. 问题的提出
插值法是使用插值多项式来逼近未知或复杂函数的,
它要求插值函数与被插函数在插值节点上函数值相同,
而在其他点上没有要求。在非插值节点上有时函数值
会相差很大。若要求在被插函数的定义区间上都有
较好的近似,就是最佳逼近问题。
必须找到一种度量标准来衡量什么是最佳逼近.
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最佳一致逼近是在函数空间 M中选 P(x) 满足

但由于绝对值函数不宜进行分析运算,常替之以
来讨论,于是最佳逼近问题变为最佳平方逼近问题
这即为连续函数的最佳平方逼近.
对于离散的问题,最佳平方逼近问题为:
就是常说的曲线拟合的最小二乘法.
最佳逼近
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二. 预备知识
内积:
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常采用的内积与范数
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定义1 若f(x),g(x)∈C[a,b], ρ(x)为[a,b]上的权函数且满足:        

则称f(x)与g(x)在[a,b]上带权ρ(x)正交。
正交多项式
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若函数族ψ0(x), ψ1(x), …, ψn(x), …满足关系         
则称{ψk(x)}是[a,b]上带权ρ(x)的正交函数族。
例如,三角函数族
1 ,cosx , sinx , cos2x , sin2x , …
就是在区间[-π, π] 上的正交函数族。
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