文档介绍：实变函数论课后答案第五章2
第五章第二节习题
设,在上可测且几乎处处有限
,
证明:在上可积的充要条件是
证明在上可积在上可积,显然可测(由可测)
若,则
则从知。
反过来,若,则
所以此时,可积,从而可积。
证毕
证明,分别在和上不可积。
证明显然在上连续,从而非负可测。
(P142 Th2)
(积分不分开区间还是闭区间)
所以在上不可积。(P142 Th1 可积于也可积于)
则在上不可积。
令知
则在上不可积。
,证明在上可积,且
证明 1)在上可测。
事实上,在上广义可积充分大,在上可积,故在上有界,且可积。由P156Th8 在上几乎处处连续,且可测(P157: 于,为简单函数,可测)
由的任意性,知在上可测于
2)在上可积。我们只用证。
充分大,由作为广义绝对收敛,知在上(有界)可积,且
由1)已知在上可测,从而也可测于,再由P142定理已知在上可积知在上可积且
且
令
则于。,,
由Levi定理
则
则在上可积。
3)
从(前已证)
只用证
,于。
由控制收敛定理,知
,证明如果,都是上的可积函数,且在上一致收敛于,则也在上可积且
证明从于,知,则可测于
另一方面
(1)
事实上,若(a),则显然(1)成立。
若(b),,则
故(1)成立
若(c),
则
若(d),
则(1)成立。
由(1)和于知
(2)
同理(3)
故于
由准则知, , ,,,
(由)
则
所以存在且有限。
由引理和(2)(3)知
故在上非负可积,从而有在上可积。
从于知, ,当时有
则时
则
证明F是积分等度绝对连续的充分条件是对任意,都有使
证明设,则
若F是等度绝对连续,则, ,使得当可测集且时,
,有
对上述和存在,使,故,可积,故
故,
故得证。
反过来,若,,使,则,使
令则当可测集,且时,,可积,故
于是积分等度绝对连续。
证明显然在上非负连续,从而非负可测。故存在(有限或正无穷)。又时
,在上非负可测,由
基本定理
,令,
则非负可测,单调上升(关于!)且
故由定理
(因为在上连续,P142Th2)
则综上有
结论(1)得证
注意上面的论证,固然也可用本节练习3的结论先验证广义积分
绝对收敛,从而有
但交换顺序导致不方便,还是要用基本定理,反而多了一道手续
(2)
则
显然时,收敛,故绝对收敛于
注意时, 是正项级数。
而时,是上的可积函数。由基本定理
由控制收敛定理
则
(用分部积分法或用
)
则
为求,考虑在上的付里叶展式
设
则
则
由于充分光滑,故(由,)
即