文档介绍：第三章大变形问题的有限元分析
目的:以大变形问题为例,介绍几何非线性问题的有限元方法。
特点:与线性有限元方法比较,几何关系不再是线性的。
内容:
引言
大变形问题的应变描述
大变形分析中的应力描述及本构关系
大变形问题有限元方程的建立
大变形分析中的载荷处理
小结
7/9/2017
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引言
几何非线性问题:位移与应变成非线性(微分意义上)关系。
物理现象:将位移(转动)和/或应变较大的问题统称为大变形问题,有时称为有限变形问题。这类问题又分为大位移(转动)小应变问题及大位移大应变问题两大类。
研究意义:和材料非线性问题一样重要。例如,平板的弯曲问题,大挠度理论分析结果更符合实际情况;薄壳的屈曲,非线性理论的预测值更好。又例如,对于橡皮型材料,大变形还必须考虑本构关系的变化,这与纯粹的材料非线性又有区别。
几何线性问题:
位移与应变成线性(微分)关系;
研究现状:大变形问题有限元分析的理论和方法存在不同学派间的争鸣,尚未得到一个权威性的结论。随之并发的其它问题,如解的稳定性、收敛性及收敛率等,都有待进一步深入研究。
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大变形问题的应变描述(1/4)
问题的特点:由于变形较大,使得不同时刻物体具有差别不能忽略的不同构型,这是大变形问题分析的基本出发点。
初始构型(0时刻)
(a)
(b)
(c)
现时构型(t 时刻)
当前构型( 时刻)
连续介质力学理论对物体经历大变形后的变形有严格的定义和推导。这里不准备过多引入复杂的概念和符号,而是与小变形理论对照,介绍进行大变形分析时必需的几个概念和术语。
大变形问题的分析方法:增量法。
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大变形问题的应变描述(2/4)
描述的出发点:物体的变形描述建立在确定的参考构型上。
大变形分析由于采用增量方法,需经常用到它们的增量形式。
Green应变张量:以初始构型为参考构型所定义的应变,数学表示为
现时(Updated)Green应变张量:以现时构型为参考构型所定义的应变,数学表示为
注意:我们用下标的大小写表示坐标的大小写,对应于不同的构型。
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大变形问题的应变描述(3/4)
应变增量:
Green应变增量:
现时(Updated)Green应变增量:
线性部分
非线性部分
线性部分
非线性部分
二者之间满足张量变换关系!
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大变形问题的应变描述(4/4)
应变增量:(续)-对于大变形小应变情形
Green应变增量退化成:
现时(Updated)Green应变增量退化成:
线性部分
非线性部分是高阶小量
线性部分
非线性部分是高阶小量
对于小变形情形
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大变形问题的应力描述(1/2)
应力是借助于微元体来定义的,但在大变形分析中,必须注意微元体所在的构型。
Euler应力:
与应变类似,连续介质力学理论具有严格的应力定义和多种不同的应力概念。这里也只介绍后面将要用到的几种。
从当前构型中取出微元体,在其上定义的应力称为Euler应力,用表示。Euler应力代表物体的真实应力。然而,当前构型是待求的未知构型,因而,有必要通过已知构型上的微元体再对应力进行描述。
Kirchhoff应力:
通过初时构型上的微元体定义的应力称为Kirchhoff应力,用表示;通过现时构型的微元体定义的应力称为现时(Updated)Kirchhoff 应力,用表示。
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大变形问题的应力描述(2/2)
Kirchhoff、现时Kirchhoff及Euler应力(增量)间的关系:
根据张量的坐标变换规则,它们之间还有以下关系
现时Kirchhoff应力
Euler应力
现时Kirchhoff应力增量
时刻
t 时刻
特点:以现时构型为参考。
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大变形分析中的本构关系(1/5)
本构关系的客观性要求:需要选取合适的应力-应变共轭对描述材料的本构关系。
弹性材料:加载曲线与卸载曲线相同的材料。
本构关系有三种形式
,
为常数
线弹性材料(elasticity)
超弹性材料
(hyperelasticity)
次弹性材料
(hypoelasticity)
(大变形分析中)
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大变形分析中的本构关系(2/5)
弹性材料
若Kirchhoff应力与Green应变之间存在一一对应关系,则称这类材料为弹性材料
不依赖于构型变化
弹性本构关系多用于大位移(转动)小应变的情形。
特殊情形
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