文档介绍：富源六中樊加虎
类型一:函数应用题
以分式函数为载体的函数应用题
例1. 工厂生产某种产品,次品率p与日产量x(万件)间的关系为:(c为常数, 且0<c<6). 已知每生产1件合格产品盈利3元,.
(1)将日盈利额y(万元)表示为日产量x(万件)的函数;
(2)为使日盈利额最大,日产量应为多少万件?(注:次品率=×100%)
【解】(1)若,则,
若,则,
(2)当,则
若,则,函数在上为增函数,
若,在上为增函数,在上为减函数,∴当时,.
综上,若,则当日产量为c万件时,日盈利额最大;若,则当日产量为3万件时,日盈利额最大.
例2. 近年来,某企业每年消耗电费约24万元, 为了节能减排, 决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网, 安装这种供电设备的工本费(单位: 万元)与太阳能电池板的面积(单位: 平方米)成正比, . 为了保证正常用电, 安装后采用太阳能和电能互补供电的模式. 假设在此模式下, 安装后该企业每年消耗的电费(单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积(单位:平方米)之间的函数关系是为常数). 记为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和.
(1)试解释的实际意义, 并建立关于的函数关系式;
(2)当为多少平方米时, 取得最小值?最小值是多少万元?
【解】(1)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用,
即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费,由,得,
所以;
(2)因为.
当且仅当,时取等号,所以当为55平方米时, .
以分段函数为载体的函数应用题
例3. 在等边中,=6cm,长为1cm的线段两端点都在边上,且由点向点运动(运动前点与点重合),,点在边或边上;,点在边或边上,设.
(1)若面积为,由围成的平面图形面积为,分别求出函数的表达式;
(2)若四边形为矩形时,求当时, 设,求函数的取值范围.
解:(1)①当时,F在边AC上,,;
当时,F在边BC上, ,
,
②当时,F、G都在边AC上,,
;
当时,F在边AC上,G在边BC上,, ;
当时,F、G都在边BC上,,
.
(2) ①当时,
②当时,
例4. 如图,长方体物体在雨中沿面(面积为)的垂直方向作匀速移动,速度为v(v>0),
雨速沿移动方向的分速度为,移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:(1)或的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与×S成正比,比例系数为1;(2)其他面的淋雨量之和,其值为. 记为移动过程中的总淋雨量,当移动距离,面积S=.
(1)写出的表达式;
(2)设0<v≤10,0<c≤5,试根据的不同取值范围,确定移动速度,使总淋雨量最少.
以二次函数为载体的函数应用题
例5. ,助跑道ABC是一段抛物线,某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1米的平台上E处,飞行的轨迹是一段抛物线CDE(抛物线CDE与抛物线ABC在同一平面内),,轴在地面上,助跑道一端点A(0,4),另一端点C(3,1),点B(2,0),单位:米.
(1)求助跑道所在的抛物线方程;
(2)若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C处有相同的切线,为使运动员安全和空中姿态优美,要求运动员的飞行距离在4米到6米之间(包括4米和6米),试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围?(注:飞行距离指点C与点E的水平距离,即这两点横坐标差的绝对值.)
【解】(1)设助跑道所在的抛物线方程为,
依题意: 解得,,,,
∴助跑道所在的抛物线方程为.
(2)设飞行轨迹所在抛物线为(),
依题意:得解得
∴,
令得,,∵,∴,
当时,有最大值为,则运动员的飞行距离,
飞行过程中距离平台最大高度,依题意,,得,
即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在2米到3米之间.
例6. 某单位有员工1000名,,决定优化产业结构,调整出x (x∈)名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年创造利润为万元(a>0),%.
(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润,则最多调整出多少名员工从事第三产业?
(2)在(1)的条件下,若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,则a的取值范围是多少?
【解】(1)由题意,得10