文档介绍：第一讲定积分的概念
教学目的:掌握定积分的有关概念和基本性质
难点:无限细分和累积的思维方法
重点:微元法思想和定积分的基本性质
教学内容:
定积分是微积分学的重要内容之一,它和上一章讨论的不定积分有着密切的内在联系,并且,定积分的计算主要是通过不定积分来解决的. ,我们将在具体实例的基础上引入定积分的概念,然后讨论它的性质、计算方法与应用.
一、问题的提出
1、曲边梯形的面积
在初等数学中,我们学****了一些简单的平面封闭图形(如三角形、圆等)的面积的计算. 但实际问题中出现的图形常具有不规则的“曲边”,我们怎样来计算它们的面积呢?下面以曲边梯形为例来讨论这个问题.
a=x0 x1 x2 xi-1 xi xn-1 xn =b
xi
O
xn
x1 x2
y=f(x)
x
y
设函数在上连续. 由曲线与直线、、轴所围成的图形称为曲边梯形(如图). 为讨论方便,假定.
由于函数上的点的纵坐标不断变化,整个曲边梯形各处的高不相等,差异很大. 为使高的变化较小,先将区间分成个小区间,即插入分点.
在每个分点处作与轴平行的直线段,将整个曲边梯形分成个小曲边梯形,其中第个小区间的长度为. 由于连续,故当很小时,第
个小曲边梯形各点的高变化很小. 在区间上任取一点,则可认为第个小曲边梯形的平均高度为,因此, 这个小曲边梯形的面积.
用这样的方法求出每个小曲边梯形面积的近似值, 再求和, 即得整个大曲边梯形面积的近似值.
可以看出:对区间所作的分划越细,上式右端的和式就越接近. 记,则当时,误差也趋于零. 因此,所求面积
. (1)
2、变速直线运动的路程
设物体作直线运动,速度是时间的连续函数,且. 求物体在时间间隔内所经过的路程.
由于速度随时间的变化而变化,因此不能用匀速直线运动的公式
来计算物体作变速运动的路程. 但由于连续,当的变化很小时,速度的变化也非常小,因此在很小的一段时间内,变速运动可以近似看成等速运动. 又时间区间可以划分为若干个微小的时间区间之和,所以,可以与前述面积问题一样,采用分划、局部近似、求和、取极限的方法来求变速直线运动的路程.
(1) 分割:用分点将时间区间分成个小区间, 其中第个时间段的长度为,物体在此时间段内经过的路程为.
(2) 求近似:当很小时,在上任取一点,以来替代上各时刻的速度,则.
(3) 求和:在每个小区间上用同样的方法求得路程的近似值,再求和,得
.
(4) 取极限:令,则当时,上式右端的和式作为近似值的误差会趋于0,因此. (2)
以上两个例子尽管来自不同领域,却都归结为求同一结构的和式的极限. 我们以后还将看到,在求变力所作的功、水压力、某些空间体的体积等许多问题中,都会出现这种形式的极限,因此,有必要在数学上统一对它们进行研究.
二、定积分的定义
定义设函数在区间上有定义,任意用分点
将分成个小区间,用表示第个小区间的长度,在上任取一点,作乘积,. 再作和.
若当时,上式的极限存在,则称函数在区间上可积,并称此极限值为在上的定积分,记作. 即
. (3)
其中称为被积函数,称为被积表达式,称为积分变量,称为积分区间,分别称为积分下限和上限.
许多实际问题都可用定积分表示. 例如,若变速直线运动的速度为,则在时间区间上,物体经过的路程为. (4)
同理,上图所示的曲边梯形面积可表为
(5)
对于由(3)式定义的定积分,需作如下几点说明:
1、在可积,是指不管对区间分划的方式怎样,也不管点在小区间上如何选取,只要,极限值总是唯一确定的.
哪些函数是可积的呢?可以证明(证明略):
定理在闭区间上连续的函数必在上可积;在区间上有界且只有有限个间断点的函数也必在上可积.
2、定积分是一个数,只取决于被积函数与积分区间,而与积分变量的记号无关,即
.
此等式的正确性在几何上是显然,因为对非负函数,这三个积分表示同一个平面图形的面积,只是坐标变量的记号不同而已,而这对面积没有影响.
3、定义定积分时已假定下限小于上限,为便于应用,规定当时,
.
.
此规定说明:将积分上下限互换时,应改变积分的符号.
4、下面讨论定积分的几何意义:
(1)、若,则积分表示如图所示的曲边梯形的面积,即
.
(2)、若,则积分表示如图所示的曲边梯形面积的负值,即
.
y=f(x)
b
a
O
y
x
y=f(x)
b
a
O
y
x
这是显然的,因为此时曲边梯形各点处的高是而不是.
(3)、如果在上的值有正也有负,如下图,则积分表示介于轴、曲线及直线
y=f(x)
O
y
x