文档介绍：现代电力系统分析
任课教师:葛少云
研究生学位课:
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三、修正方程式的处理和求解
在本节的开头就已提到,牛顿算法的核心就是反复形成并求解修正方程式。
因此如何有效地处理修正方程式就成为提高牛顿法潮流程序计算速度并降低内存需量的关键所在。
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从算法的发展过程来看,在50年代末就已经提出了牛顿法潮流的雏形。
先是用迭代法求解修正方程式,但遇到迭代法本身不收敛的问题。
用高斯消去法等直接法求解,但如前所分析,修正方程式的数目在2(n-1)左右,如果不利用雅可比矩阵的稀疏特性,当网络节点数增加为N倍,存储雅可比矩阵的内存量将正比于N2倍,利用直接法求解修正方程的计算量将正比于N3倍地增长。
这就限制了牛顿法潮流程序的解题规模,从而使得这种方法的推广应用一度止步不前。
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其后正是人们注意到了雅可比矩阵高度稀疏的特点,求解修正方程式时采用了稀疏程序设计技巧,并且发展了一套在消元过程中旨在尽量保持其稀疏性、以减少内存需量并提高计算速度的有效方法(即著名的最优顺序消去法),才使牛顿法真正得到了突破,因而在60年代中期以后被普遍采用。
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结合修正方程式的求解,目前在实用的牛顿法潮流程序中所包含的程序特点主要有以下三个方面,这些程序特点对牛顿法潮流程序性能的提高起着决定性的作用。
(1)对于稀疏矩阵,在计算机中以“压缩”方式只储存其非零元素,且只有非零元素才参加运算。
散居格式
按行(列)存储格式
链表存储格式
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(2)修正方程式的求解过程,采用对包括了修正方程常数项的增广矩阵以按行消去而不是传统的按列消去的方式进行消元运算。由于消元运算系按行进行,因此可以不需先形成整个增广矩阵,然后进行消元运算,而是采取边形成、边消元、边存储的方式,即每形成增广矩阵的一行便马上进行消元,并且消元结束后便随即将结果送内存存储。
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图1-1是增广矩阵按行消元的示意图,图中表示了五阶增广矩阵的前四行,其中1-3行已完成了消元运算且已经存放在内存中,接着要进行的是第四行的消元运算,即消去对角元以左的三个元素。在具体的程序中,待消行是放在一个专用的工作数组中进行消元运算的。
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这种按行消元做法的好处:
是对于消元过程中新注入的非零元素,当采用“压缩”存储方式时,可以方便地按序送入内存,不需要预留它们的存放位置。
特别值得注意的是由于不必一次形成整个雅可比矩阵,且常数项的消元运算已和矩阵的消元过程同时进行,因此这种牛顿潮流算法求解修正方程式时,所需的矩阵存储量只是消元运算结束时所得到的用以进行回代的上三角矩阵而已。
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(3)消元的最优顺序或节点编号优化
经过消元运算得到的上三角矩阵一般仍属稀疏阵,但由于消元过程中在原来是零元素的位置上有新元素注入,使得它的稀疏度比原来雅可比矩阵的上三角有所降低。但分析表明,注入元素的多少和消元的顺序或节点编号有关。节点编号优化的作用即在于找到一种网络节点的重新编号方案,使得按此构成的节点导纳矩阵以及和它相应的雅可比矩阵在高斯消元或三角分解过程中出现的注入元素数目能大大减少。节点编号优化通常有三种方法:
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静态法——按各节点静态连接支路数的多少顺序编号;
半动态法——按各节点动态连接支路数的多少顺序编号;
动态法——按各节点动态增加支路数的多少顺序编号。
三种节点编号优化方法:动态法效果最好,但优化本身所需计算量也最多,而静态法则反之。对于牛顿法潮流计算来说,一般认为,采用半动态法似乎是较好的选择。
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