3.5矩、协方差矩阵（精选）.ppt

文档介绍：三. 矩、偏态、峰态
设X,Y是两个随机变量
(1)若
存在,则称它为X的k阶原点
矩,记为
(2)若
存在,则称它为X的k
阶中心矩,记为
(3)若
存在,则
称它为k+l阶混合中心矩。
由定义可知,X的数学期望E(X)就是X的一阶原点矩,方差D(X)是X的二阶中心矩,而(X,Y)的协方差cov(X,Y)是二阶混合中心矩。
设随机变量X服从正态分布
中心矩
求它的
解
已知,
因此
令
则
此广义积分绝对
收敛。当k为奇数时
当k为偶数时,令
则
特别,当k=4时
不难知道,如果随机变量的概率分布关于期望值
是对称的,则它的一切奇数阶中心矩都等于零。
一般地,奇数阶中心矩可以描述随机变量分布的非对称性。通常用来度量随机变量分布的非对称性,称它为偏态系数,简称为偏态。
四阶中心矩可以描述随机变量分布的尖峭程度,通常用来度量分布的尖峭程度,称它为峰态系数,简称为峰态。正态分布的偏态和峰态都等于零。
四. 协方差矩阵
设
是n维随机变量,若
存在,记
则称矩阵Σ为n维随机变量X的协方差矩阵
显然,协方差矩阵是一个对称矩阵,而且,它是半正定矩阵,当σi>0(i=1,2,…,n)时它是正定矩阵。
设
二维正态分布
试求其协方差矩阵。
解已经求得
于是
对于二维随机变量(X,Y)
(X,Y)的协方差矩阵为