chapt4-3协方差和相关系数（精选）.ppt

文档介绍：第三节协方差和相关系数



(X,Y)是二维随机变量,称量
E{[XE(X)][YE(Y)]}
为随机变量X和Y的协方差,记作cov(X,Y),即
cov(X,Y)=E{[XE(X)][YE(Y)]}
P116
上节课方差性质3证明中

证明:
由数学期望性质可知:
若X和Y相互独立,则 cov(X,Y)=0
所以
P117
cov(X,Y)= cov(Y,X).
cov( aX ,bY)= a b cov(X,Y ),其中a,b是常数.
cov(X1+X2,Y)= cov(X1 ,Y) +cov(X2,Y)
cov(X,X)= D(X)
由方差性质3的推导过程和协方差性质可知:
性质1
性质2
性质3
注:
若X和Y相互独立,则 cov(X,Y)=0
性质4

设X是随机变量,称
为标准化随机变量.
显然:
1. E(X*)=0,D(X*)=1
2. 记
则
(定义为相关系数)
P117
设(X,Y)是二维随机变量,当D(X)>0, D(Y)>0时,称量
为随机变量X和Y的相关系数或标准协方差,记作ρXY,即
P117

性质1
| ρXY|≤1
性质2
|ρXY|=1的充要条件为存在常数a,b,使得
P{Y=aX+b}=1成立,即X与Y以概率1线性相关.
可以用来表征X与Y之间线性关系紧密程度
注:
的量.
称X和Y不相关
性质3
若X和Y相互独立,则X和Y不相关.
证明:
由X和Y相互独立得:
cov(X,Y)=0
从而得
即X和Y不相关.
X和Y不相关,不一定X和Y相互独立.
注:
例1(作业13)设随机变量Z的分布律为:
Z
0

且设X=sinZ, Y=cosZ, 试验证X和Y是不相关的,
但X和Y不是相互独立的.
X
-1 0 1

解:
Y
0 1

XY
0
1
X, Y, XY的分布律分别为
则 E(X)=0,
E(Y)=,
E(XY)=0
所以 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0
X和Y是不相关的