文档介绍：一、行列式的计算(重点考四阶行列式)
1、利用行列式的性质化成三角行列式
行列式的性质可概括为五条性质、四条推论,即七种变形手段(转置、交换、倍乘、提取、拆分、合并、倍加);三个为0【两行(列)相同、成比例、一行(列)全为0】
2、行列式按行(列)展开定理降阶
行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即
例1、计算行列式
二、解矩阵方程
矩阵方程的标准形式:
若系数矩阵可逆,则
切记不能写成或
求逆矩阵的方法:
1、待定系数法
2、伴随矩阵法
其中叫做的伴随矩阵,它是的每一行的元素的代数余子式排在相同序数的列上的矩阵。
3、初等变换法
例2、解矩阵方程
例3、解矩阵方程,其中
三、解齐次或非齐次线性方程组
设,元齐次线性方程组有非零解
元齐次线性方程组只有零解。
当时,元齐次线性方程组只有零解。
当时,元齐次线性方程组有非零解。
当时,齐次线性方程组一定有非零解。
定义:设齐次线性方程组的解满足:
线性无关,
的每一个解都可以由线性表示。
则叫做的基础解系。
定理1、设,齐次线性方程组,若,则该方程组的基础解系一定存在,且每一个基础解系中所含解向量的个数都等于。
齐次线性方程组的通解
设,元非齐次线性方程组有解。
唯一解。
无数解。
无解。
非齐次线性方程组的通解,
例4、求齐次线性方程组的通解
例5、求非齐次线性方程组的通解。
四、含参数的齐次或非齐次线性方程组的解的讨论
例6、当为何值时,齐次线性方程组有非零解,并求解。
例7、已知线性方程组,问当为何值时,它有唯一解,无解,无穷多解,并在有无穷多解时求解。
五、向量组的线性相关性
线性相关中至少存在一个向量能由其余向量线性表示。
存在不全为0的数使得。
有非零解有非零解
有非零解
线性无关中任意一个向量都不能由其余向量线性表示。
若,则。
只有零解只有零解
特殊的,个维向量线性相关或。
个维向量线性无关或。
例8、已知向量组,,,
讨论使该向量组(1)线性相关(2)线性无关
六、求向量组的秩,极大无关组,并将其余向量用极大无关组线性表示
设向量组,若从中选出个向量构成向量组
满足:
线性无关
中的每一个向量都能由线性表示,
条件(2)换一句话说的任意个向量(若有的话)都线性相关,或者说从中向任意添加一个向量(若有的话),所得的向量组都线性相关。
则叫做的极大线性无关向量组,简称极大无关组。
向量组的极大无关组所含向量的个数叫做向量组的秩,
记作
求向量组的秩的方法:
扩充法
子式法
最高阶非0子式的阶数就是矩阵的秩,也就是这个向量组的秩,并且这个子式的行(列)对应的原向量组的向量就是这个向量组的一个极大无关组。
初等变换法同法二构成矩阵,对矩阵进行初等变换。
例9、设向量组
求(1)向量组的秩;
(