文档介绍：第4讲函数与方程
★知识梳理
一、函数的零点
方程的实数根又叫做函数的零点。
方程有实根函数的图像与x轴有交点函数有零点;
②如果函数在区间上的图像是连续不断的,且有,则函数在区间上有零点。
二、二分法
,且,通过不断地把函数的零点所在区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
,用二分法求函数的零点近似值的步骤如下:
(1)确定区间,验证,给定精度;
(2)求区间的中点;
(3)计算:①若,则就是函数的零点;②若,则令(此时零点);③若,则令(此时零点
)
(4)判断是否达到精度;
即若,则得到零点值(或);否则重复步骤(2)-(4)
★重、难点突破
重点:函数零点的概念,掌握用二分法求函数零点的近似值
难点:用二分法求函数的零点近似值
重难点:
函数的零点、方程的根、函数的图像与x轴交点的横坐标,实质是同一个问题的三种不同表达形式,方程根的个数就是函数的零点的个数,亦即函数的图像与x轴交点的个数
变号零点与不变号零点
①若函数在零点左右两侧的函数值异号,则称该零点为函数的变号零点
②若函数在零点左右两侧的函数值同号,则称该零点为函数的不变号零点
③若函数在区间上的图象是一条连续的曲线,则是在区间内有零点的充分不必要条件。
用二分法求曲线交点的坐标要注意两个问题
(1)曲线交点坐标即为方程组的解,从而转化为求方程的根
(2)求曲线和的交点的横坐标,实际上就是求函数的零点,即求方程的根
:
(1)第一步中要使:①区间长度尽量小;②的值比较容易计算且
;
(2)根据函数的零点与相应方程根的关系,求函数的零点与求相应方程根是等价的。对于求方程的根,可以构造函数,函数的零点即方程的根。
★热点考点题型探析
考点1 零点的求法及零点的个数
题型1:求函数的零点.
[例1] 求函数的零点.
[解题思路]求函数的零点就是求方程的根
[解析]令,∴
∴,∴
即函数的零点为-1,1,2。
[名师指引] 函数的零点不是点,而是函数函数的图像与x轴交点的横坐标,即零点是一个实数。
题型2:确定函数零点的个数.
[例2] 求函数f(x)=lnx+2x -6的零点个数.
[解题思路]求函数f(x)=lnx+2x -6的零点个数就是求方程lnx+2x -6=0的解的个数
[解析]方法一:易证f(x)= lnx+2x -6在定义域上连续单调递增,
又有,所以函数f(x)= lnx+2x -6只有一个零点。
方法二:求函数f(x)=lnx+2x -6的零点个数即是求方程lnx+2x -6=0的解的个数
即求的交点的个数。画图可知只有一个。
[名师指引]求函数的零点是高考的热点,有两种常用方法:
①(代数法)求方程的实数根;
②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图像联系起来,并利用函数的性质找出零点.
题型3:由函数的零点特征确定参数的取值范围
[例3] (2007·广东)已知a是实数,函数,如果函数在区间上有零点,求a的取值范围。
[解题思路]要求参数a的取值范围,就要从函数在区间上有零点寻找关于参数a的不等式(组),但由于涉及到a作为的系数,故要对a进行讨论
[解析] 若, ,显然在上没有零点, 所以.
令, 解得
①当时, 恰有一个零点在上;
②当,即时,在
上也恰有一个零点.
③当在上有两个零点时, 则
或
解得或
综上所求实数的取值范围是或.
[名师指引]①二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体,也是高考热点,要深刻理解它们相互之间的关系,能用函数思想来研究方程和不等式,便是抓住了关键.
②二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据.
[新题导练]
1.(09年浙江五校联考)函数有且仅有一个正实数的零点,则实数的取值范围是( )
A.;B.;C.;D.
[解析] B;依题意得(1)或(2)或
(3)
显然(1)无解;解(2)得;解(3)得
又当时,它显然有一个正实数的零点,所以应选B
2.(中山市09届统测)方程的实数解的个数为_______
[解析] 2;在同一个坐标系中作函数及的图象,发现它们有两个交点
故方程的实数解的个数为2
考点2 用二分法求方程的近似解
[例4](斗门一中09届模拟)利用计算器,列出自变量和函数值的对应值如下表: