文档介绍：(五)数学公式
【首同末合十的两位数相乘公式】若两个两位数的十位数字都是a,个位上的数分别为b和c,且b+c=10,则这样的两个数便是“首同末合十”的两个两位数,它们的积为
(10a+b)(10a+c)=(10a)2+10ab+10ac+bc
=102a2+10a(b+c)+bc
=100a2+100a+bc
=a(a+1)×100+bc。
根据这一公式,两个“首同末合十”的两位数相乘,可以先把首位数乘以比它大1的数的积的100倍,然后在所得的结果后面,添上两个末位数的积。
例如,72×78=(7×8)×100+2×8
=5616
45×45=(4×5)×100+5×5
=2025
首同末合十的计算公式,也可以推广到两个三位数、两个四位数相乘的速算中去。例如
256×254
可取a=25,b=6,c=4,再运用公式计算,得
256×254=[25×(25+1)]×100+6×4
=[25×26]×100+24
=65024
又如,155×155=(15×16)×100+5×5
=24025
【末同首合十的两位数相乘公式】若两个两位数十位上的数字分别是a和b,且a+b=10,个位上的数字都是c,则这样的两个数便是“末同首合十”的两个两位数,它们的积为
(10a+c)(10b+c)=102ab+10ac+10bc+c2
=100ab+10c(a+b)+c2
=100ab+100c+c2
=(ab+c)×100+c2。
根据这一公式,两个“末同首合十”的两位数相乘,可以先把两个首位数字的乘积加上一个末位数,再乘100然后再在所得的结果后面,添上末位数自乘的积(末位数的平方)。
例如,34×74=(3×7+4)×100+42
=25×100+16
=2516
【两个末位是1的两位数相乘公式】设两个末位都是1的两位数,十位上的数字分别是a和b,则它们的积是
(10a+1)(10b+1)=100ab+10a+10b+12
=10a×10b+(a+b)×10+1
由这一公式可知,两个末位是1的两位数相乘,可以先把两个首位数值相乘,然后在所得的结果后面添上两个首位数的和(和满十时要进位)的10倍,最后在后面添上1。
例如,51×71=50×70+(5+7)×10+1
=3500+12091
=3621。
这样的题目,口算的方法可以是:
【两个首位是1的两位数相乘公式】设两个首位为1的两位数,个位上的数字分别是a和b,则它们的积是:
(10+a)(10+b)=100+10a+10b+ab
=(10+a+b)×10+ab。
由这一公式可知,两个首位是1的两位数相乘,可以把一个数加上另一个数的末位数,所得的结果乘以10以后,再加上两个末位数的乘积。
例如,17×16=(17+6)×10+7×6
=230+42
=272。
【接近100的两个数相乘公式】接近100的两个数相乘,可以分三种情况来寻找它的速算方法。
(1)两个超过100的数相乘。
设两个超过100的数分别为a和b,它们与100的差分别为h和k,则a=100+h,b=100+k。它们的积是
a·b=(100+h)(100+k)
=(100+h)×100+100k-hk
=(100+h+k)×100+hk
=(a+k)×100+hk。
由这一公式可知,两个超过100的数相乘,可以先把一个数加上另一个数与100的差,然后将所得的结果乘以100以后,再加上两个因数分别与100的差(补充数)的乘积。
例如,108×112=(108+12)×100+8×12
=12000+96
=12096。
快速口算的思考方法可以是:
又如,103×102=(103+2)×100+3×2
=10500+6
=10506
快速口算的思考方法可以是
(2)两个不足100的数相乘。
设两个不足100的数一个为a=100-h,另一个为b=100-k,则它们的积是
a· b=(100-h)(100-k)
=(100-h)×100-100k+hk
=(100-h-k)×100+hk
=(a-k)×100+hk。
由这个公式可知,两个不足100的两位数相乘,可以先从一个因数中减去另一个因数与100的差,然后将所得结果乘以100以后,再加上两个因数分别与100的差(两个补充数)的乘积。
例如,89×97=(89-3)×100+11×3
=8600+33
=8633
快速口算的思考方法可以是
又如,89×88=