文档介绍：万有引力定律与天体运动
两体问题
仅有两个质点组成的孤立系统,两个质点的质量为m1、m1,相互作用力大小为f,
从m1至m2的矢径为.
对m2,由牛顿第二定律有
将(1)代入(2):
则有
(3)式表明,若取m1为参照系(一般不是惯性系,在此系中牛顿第二定律不成立)
,则在此参照系中m2的运动完全相同于质量为μ的质点在中心力的作用下按牛顿第二
定律所形成的运动,而无须考虑惯性力的作用.
取二者的质心C为参照系(惯性系). 设C到m1的矢径为.
有
“卫星怪象”问题
卫星(质量为m)与地球(质量为M) 系统的总能量为
即
于是可知
对两端的变化量有
即
一、对宇宙中复杂的天体受力运动的简化
(1)天体通常相距很远,故可将天体处理为质点.
(2)很多时候,某天体的所受其他诸天体引力中仅有一个是主要的:
a、可将该两天体作为二体问题处理.
b、施力天体由于某些原因(如质量相对很大)在某惯性系中可认为几乎不动,这
时问题很简单(我们通常讨论的就是这种情况).
二、引力问题的基本动力学方程
如图,行星m在太阳M的有心引力作用下运动.
行星的横向加速度等于零.
有径向动力学方程
解题知识与方法研究
在太阳惯性参照系中,
由牛顿运动定律和引力定律
此式变化后即得开普勒第二定律:
表明:
开普勒第二定律是角动量守恒定律的特殊表现.
开普勒第二定律不仅适用于行星的椭圆运动也将
适用于有心引力作用下的任何行星轨道运动.
又因万有引力为保守力,故“太阳+行星”系统的机
械能守恒
当然,此方程也不限于
行星做椭圆轨道运动!
因为引力为有心力,故行星对太阳参考轴角动量
守恒
三、天体绕日运动的轨道与能量
根据万有引力定律和其他牛顿力学定律(角动
量守恒、机械能守恒等)可导出在如图的极坐标下
的绕日运动的天体的轨道方程:
轨道方程为一圆锥曲线方程:
(1)
(即开普勒第一定律);
总能量为:
(2)
总能量为:
(3)
总能量为:
例1(天体轨道的判定) 如图,太阳系中星体A做半径为R1的圆运动,星体B作抛物线运动. B在近日点处与太阳的相距为R2=2R1,且两轨道在同一平面上,两星体运动方向也相同. 设B运动到近日点时,A恰好运动到B与太阳连线上. A、B随即发生某种强烈的相互作用而迅速合并成一个新的星体. 其间的质量损失可忽略. 试证明新星体绕太阳的运动轨道为椭圆.
解
计算新星体C的机械能.
在径向:
可认为在A、B靠拢过程中质心未动.
所以C到太阳的距离为
在切向:
A、B合并过程中动量也守恒,
②
则有
研究②式中的vA、vB:
因A作圆运动,
例题解答
①
所以
利用①③,C星体的机械能为
因此,新星体C的轨道为椭圆.
EA<0,EB=0,EA+EB=?
EC与(EA+EB )谁大谁小?
C的轨道是什么?
将vA、vB代入②得
③
B作抛物线运动,机械能为零.
因而有
①
思考
本题能不能直接判断?
例2(利用引力作用下的质点运动求椭圆曲率半径) 行星绕太阳作椭圆运动,已
知轨道半长轴为A,半短轴为B,太阳质量记为MS. 试用物理方法求椭圆各定点处的曲率
半径.
解
行星运动情况如图.
由顶点1、2、3处的机械能守恒和面积速度
相等可得
由图可知
代入②式得
③
由①③解得
据
①
②