文档介绍：第一章
第三节
条件概率及事件
的相互独立性(23)
二、全概率公式及贝叶斯公式
三、事件的相互独立性
一、条件概率及乘法公式
一、条件概率和乘法公式
在实际问题中,
例1.
除了要知到事件A 的概率 P(A) ,
要知道“在事件B发生的条件下,
事件A的概率”,
这个概率
称为条件概率,
一般说来,
P(A) 与 P(A|B)是
有时还
不同的.
请看下面的例题.
记作 P(A|B) .
箱子中有100件同型号的产品,
其中70件(50件正品,
20件次品)来自甲厂,
30件(25件正品,5件次品)来自乙厂,
现从箱子中任取1件产品:
(1) 求取得次品的概率;
(2) 求取得甲厂产品的概率;
(3) 已知取得的是甲厂的产品,
求取得的是次品的概率.
记 A ={取得次品},
B ={取得甲厂产品},
AB ={取得次品,且是甲厂的产品},
解:
A|B ={已知取得的是甲厂产品的条件下,取得的是次品}
由古典概率计算法可得:
此外有
对于问题(3),
由于增加了一个条件“已知取得的是甲
厂产品”,
所以该问题实质上就是从甲厂70件产品(50件
此例表明:
正品,20件次品)中,
任取一件,
求取得的是次品的概率,
显然有:
但是有
公式:
但它对一般情形也是正确
的.
由此可给出条件概率的定义.
虽然是从特殊的例子得到的,
定义1
设 A , B 是两个随机事件,
且 P(B) > 0,
则称
为在事件 B 发生的条件下,
事件 A 发生的条件概率.
由条件概率的定义可知:
显然,
条件概率有如下性质:
①非负性:
②规范性:
当 P(A) > 0时,
在事件A发生的条
件下,
事件 B 发生的条件概率为
由(1)、(2)两式立即可得:
(3)、(4)两式称为概率的乘法公式.
以上公式还可推广到三个事件的情形:
一般地,有下列公式:
例2.
一盒中有12只晶体管,
其中4只是坏的,
8只是好的,
在盒中任取两次,
第一次取出的不再放回,
已发现第一只是好的,
求第二只也是好的概率.
解:
每次取一只,
若
设Ai={第i只是好的}i=1,2,
依题意要求的是
由于
所以
此题也可用缩小样本空间的方法求解.
在取出第1只是
例3.
笔筒中有n只考签,
其中有1只难签,
n个人依次从
中各抽1只考签,
求第i 个人取得难签的概率.
解:
设Ai={第i个人取得难签}i=1,2,…n.
显然
又
于是
好的条件下,
盒子中还剩11只晶体管,
其中7只是好的,
再取出1只是好的概率为
因此有
类似有
依此类推,
最后可得:
此例表明:
每个人抽到难签的概率是相同的,
均为
推算未知的复杂
全概率公式是从已知简单事件的概率,
二、全概率公式和贝叶斯公式
定义2.
A2
A1
…
…
…
An
…
…
事件概率的有效公式,
而贝叶斯公式则为我们判断某种
结果生成的原因提供了理论依据.
设
是随机试验 E
的一组事件,
若满足
两两互不相容,
即有
且满足
则称此事件组为样本空间
的一个完备事件组
(或样本空间的一个划分).