文档介绍：【2013·湖北武汉·25题】如图,点P是直线l:y=-2x-2上的点,过点P的另一条直线m交抛物线y=x2于A、B两点。
(1)若直线m的解析式为y=-,求A、B两点的坐标;
(2)①若点P的坐标为(-2,t),当PA=AB时,请直接写出点A的坐标;
②试证明:对于直线l上任意给定的一点P,在抛物线上都能找到点A,使得PA=AB成立。
(3)设直线l交y轴于点C,若△AOB的外心在边AB上,且∠BPC=∠OCP,求点P的坐标。
解:(1)联立抛物线和直线m的解析式得
x2 =-,即2x2 +x-3=0
解得x=1或
∵当x=1时,y=1;当x=时,y=
∴点A坐标为(,),点B坐标为(1,1)
(2)①∵点P(-2,t)在直线l:y=-2x-2上
∴ t=2,即P(-2,2)
可设直线m的解析式为y=kx+2k+2
联立抛物线解析式有:x2-kx-2k-3=0
设A(x1,x12),B(x2,x22),则x1+x2=k,x1x2=-2k-3
∵PA=AB ∴2x1=x2-2
上述三式消去k和x2得,x12 +4x1+3=0
解得x1= -1或-3
∴点A坐标为(-1,1)或(-3,9)
②设P(n,-2n-2),A(a,a2),过点P、A、B作x轴的垂线,垂足分别为P’、A’、B’。
∵PA=AB ∴AA’是梯形PP’B’B的中位线
∴P’A’=A’B’,2AA’=PP’+BB’
∴a-n=xB-a,2a2=-2n-2+yB
∴B(xB,yB)即(2a-n,2a2+2n+2)
代入抛物线解析式得:
2a2+2n+2=(2a-n)2=4a2+4an+n2
即2a2+4an+n2-2n-2=0
∵Δ=16n2-8(n2-2n-2)=8n2+16n+16=8(n+1)2+8>0
∴对于任意的n,关于a的方程总有两个不相等的实数根,即对于直线l上任意给定的一点P,在抛物线上都能找到两个满足条件的点A。
(3)∵△AOB的外心在边AB上∴∠AOB=90°
过点A、B作x轴的垂线,垂足为E、F。
易证得△AEO∽△OFB,则
设A(r,r2),B(t,t2),其中r<0,t>0,则OE=-r,AF=r2,OF=t,BF=t2
∴-rt=r2t2,得rt=-1
设直线m的解析式为y=kx+b,,联立抛物线解析式可得x2-kx-b=0,由韦达定理得,rt=-b
∴b=1,则点D坐标为(0,1)
由直线l:y=-2x-2得,点C坐标为(0,-2)
∴DC=3
∵∠BPC=∠OCP ∴DP=DC=3
设点P坐标为(n,-2n-2),过点P作PK⊥y轴于K,则PK=|n|,DK=|-2n-3|
∵PK2+DK2=DP2=9
∴n2+(-2n-3)2=9,即5n2+12n=0
∴n=0(舍去)或
则-2n-2=-2×()-2=
∴点P坐标为(,)
【2013·湖北荆门·24题】已知关于x的二次函数y=x2-2mx+m2+m的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A(x1,y1)、B(x2,y2);(x1<x2)
(1)当k=1,m=0,1时,求AB的长;
(2)当k=1,m为任何值时,猜想AB的长是否不变?并证明你的猜想.
(3)当m=0,无论k为何值时,猜想△.
(平面内两点间的距离公式AB=)
解:(1)当k=1,m=0时,由可解得:
点A坐标为(,)
点B坐标为(,)
由两点距离公式可得AB=
同理可得,当k=1,m=1时,AB=
(2)当k=1,m为任何值时,AB长不变。证明如下:
由x2-2mx+m2+m=x+1得:
x2-(2m+1)x+m2+m-1=0
由韦达定理得:x1+x2=2m+1,x1x2=m2+m-1
∴(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x2x1
=(2m+1)2-4(m2+m-1)=5
∵y1=x1+1,y2=x2+1
∴(y2-y1)2=(x2-x1)2=5
∴AB==
(3)当m=0,无论k为何值时,△AOB是直角三角形。证明如下:
由x2=kx+1得,x2-kx-1=0
∴x1+x2=k,x1x2=-1
∴(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x2x1=k2+4
∵y1=kx1+1,y2=kx2+1
∴(y2-y1)2=k2(x2-x1)2=k4+4k2
∴AB2=(x2-x1)2+(y2-y1)2
=k4+5k2+4
∵OA2= x12+y12
=x12+(kx1+1)2
=(k2+1) x12+2kx1+1
OB2= x22+y22
= x22+(kx2+1)2
=(k2+1) x22+2kx2+1
∴OA2+OB2=(k2