文档介绍：第03节简单的三角恒等变换
【考纲解读】
考点
考纲内容
5年统计
分析预测
简单的三角恒等变换
①掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,掌握正弦、余弦、正切二倍角的公
式.
②掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.
2014浙江文4,18;理4,18;
2015浙江文11,16;理11;
2016浙江文11;理10,16;
2017浙江14,18;
2018浙江18.
(差)角公式;
;
.
,高考命题主要以公式的基本运用、计算为主,其中多以与角的范围、三角函数的性质、三角形等知识结合考查.
:
(1) 掌握和差倍半的三角函数公式;
(2) 掌握三角函数恒等变换的常用技巧.
【知识清单】
1. 两角和与差的三角函数公式的应用
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α-β):cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;
C(α+β):cos(α+β)=cosαcos_β-sin_αsinβ;
S(α+β):sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;
S(α-β):sin(α-β)=sin_αcos_β-cosαsinβ;
T(α+β):tan(α+β)=;
T(α-β):tan(α-β)=.
变形公式:
tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tanαtanβ);
.
函数f(α)=acos α+bsin α(a,b为常数),可以化为f(α)=sin(α+φ)或f(α)=cos(α-φ),其中φ可由a,b的值唯一确定.
2. 二倍角公式的运用公式的应用
二倍角的正弦、余弦、正切公式:
S2α:sin 2α=2sin_αcos_α;
C2α:cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;
T2α:tan 2α=.
变形公式:
cos2α=,sin2α=
1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2
【重点难点突破】
考点1两角和与差的三角函数公式的应用
【1-1】【2018河南省名校联盟第一次段考】已知圆:,点,,记射线与轴正半轴所夹的锐角为,将点绕圆心逆时针旋转角度得到点,则点的坐标为__________.
【答案】
【解析】设射线OB与轴正半轴的夹角为,有已知有,所以,且,C点坐标为.
【1-2】已知:,,且,则=_______.
【答案】
【1-3】【2018年浙江卷】已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P().
(Ⅰ)求sin(α+π)的值;
(Ⅱ)若角β满足sin(α+β)=,求cosβ的值.
【答案】(Ⅰ), (Ⅱ)或
【解析】分析:(Ⅰ)先根据三角函数定义得,再根据诱导公式得结果,(Ⅱ)先根据三角函数定义得,再根据同角三角函数关系得,最后根据,利用两角差的余弦公式求结果.
详解:(Ⅰ)由角的终边过点得,
所以.
点睛:三角函数求值的两种类型:
(1)给角求值:关键是正确选用公式,以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值:关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用;
②变换待求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的.
【领悟技法】
,不但要熟练,准确,而且要熟悉公式的逆用及变形,如tan α+tan β=tan(α+β)·(1-tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等.
,公式的正用是常见的,但逆用和变形应用则往往容易被忽视,公式的逆用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化的能力,只有熟悉了公式的逆用和变形应用后,才能真正掌握公式的应用.
提醒:在T(α+β)与T(α-β)中,α,β,α±β都不等于kπ+(k∈Z),即保证tan α,tan β,tan(α+β)都有意义;若α,β中有一角是kπ+(k∈Z),可利用诱导公式化简.
【触类旁通】
【变式一】【2018江西省赣州厚德外国语学校上学期第一次测试】的值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】故选D.
【变式二】已知均为锐角,且,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的值.
【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).
∴==
.
【变式三】已知函数的部分图像如图所示.
(Ⅰ)求函数)的解析式,并写出的单调减区间;
(Ⅱ)的内角分别是A,B,,,求的值.
【答案】