文档介绍：抽象函数的对称性、:抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难,所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义:对于定义域内的每一个,都存在非零常数,使得恒成立,则称函数具有周期性,叫做的一个周期,则()也是的周期,所有周期中的最小正数叫的最小正周期。分段函数的周期:设是周期函数,在任意一个周期内的图像为C:。把个单位即按向量在其他周期的图像:。2、奇偶函数:设①若②若。分段函数的奇偶性3、函数的对称性:(1)中心对称即点对称:①点②③④⑤(2)轴对称:对称轴方程为:。①关于直线②函数关于直线成轴对称。③关于直线成轴对称。二、函数对称性的几个重要结论(一)函数图象本身的对称性(自身对称)若,则具有周期性;若,则具有对称性:“内同表示周期性,内反表示对称性”。1、图象关于直线对称推论1:的图象关于直线对称推论2、的图象关于直线对称推论3、的图象关于直线对称2、的图象关于点对称推论1、的图象关于点对称推论2、的图象关于点对称推论3、的图象关于点对称(二)两个函数的图象对称性(相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)1、偶函数与图象关于Y轴对称2、奇函数与图象关于原点对称函数3、函数与图象关于X轴对称4、:函数与图象关于直线对称推论2:函数与图象关于直线对称推论3:函数与图象关于直线对称(三)抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质1若函数y=f(x)关于直线x=a轴对称,则以下三个式子成立且等价:(1)f(a+x)=f(a-x)(2)f(2a-x)=f(x)(3)f(2a+x)=f(-x)性质2若函数y=f(x)关于点(a,0)中心对称,则以下三个式子成立且等价:(1)f(a+x)=-f(a-x)(2)f(2a-x)=-f(x)(3)f(2a+x)=-f(-x)易知,y=f(x)为偶(或奇)函数分别为性质1(或2)当a=0时的特例。2、复合函数的奇偶性定义1、若对于定义域内的任一变量x,均有f[g(-x)]=f[g(x)],则复数函数y=f[g(x)]为偶函数。定义2、若对于定义域内的任一变量x,均有f[g(-x)]=-f[g(x)],则复合函数y=f[g(x)]为奇函数。说明:(1)复数函数f[g(x)]为偶函数,则f[g(-x)]=f[g(x)]而不是f[-g(x)]=f[g(x)],复合函数y=f[g(x)]为奇函数,则f[g(-x)]=-f[g(x)]而不是f[-g(x)]=-f[g(x)]。(2)两个特例:y=f(x+a)为偶函数,则f(x+a)=f(-x+a);y=f(x+a)为奇函数,则f(-x+a)=-f(a+x)(3)y=f(x+a)为偶(或奇)函数,等价于单层函数y=f(x)关于直线x=a轴对称(或关于点(a,0)中心对称)3、复合函数的对称性性质3复合函数y=f(a+x)与y=f(b-x)关于直线x=(b-a)/2轴对称性质4、复合函数y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点((b-a)/2,0)中心对称推论1、复合函数y=f(a+x)与y=f(a-x)关于y轴轴对称推论2、复合函数y=f(a+x)与y=-f(a-x)关于原点中心对称4、函数的周期性若a是非零常数,若对于函数y=f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立,则函数y=f(x)是周期函数,且2|a|是它的一个周期。①f(x+a)=f(x-a)②f(x+a)=-f(x)③f(x+a)=1/f(x)④f(x+a)=-1/f(x)5、函数的对称性与周期性性质5若函数y=f(x)同时关于直线x=a与x=b轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=2|a-b|性质6、若函数y=f(x)同时关于点(a,0)与点(b,0)中心对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=2|a-b|性质7、若函数y=f(x)既关于点(a,0)中心对称,又关于直线x=b轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=4|a-b|6、函数对称性的应用(1)若,即(2)例题1、;2、奇函数的图像关于原点(0,0)对称:。3、若的图像关于直线对称。设.(四)常用函数的对称性三、函数周期性的几个重要结论1、()的周期为,()也是函数的周期2、的周期为3、的周期为4、的周期为5、的周期为6、的周期为7、的周期为8、的周期为9、的周期为10、若11、有两条对称轴和周期推论:偶函数满足周期12、有两个