文档介绍：:回忆即(为上全体有理数之集合)回忆:可测为可测集和P129定理2:若是中测度有限的可测集,是上的非负有界函数,则为上的可测函数显然,可数,则,,从而可积由P134Th4(2)知回忆函数:在数学分析中我们知道,在有理点处不连续,而在所有无理点处连续,且在上可积,于上,故可测(P104定理3),且而(可数,故)(iii)中的第一式证明:要证的是:若,都是上的非负有界函数,则下面证明之:,有下积分的定义,有的两个划分和使,此处,分别是关于和关于的小和数,合并而成的一个更细密的划分,则当为关于的小和数时(用到下确界的性质和P125引理1)由的任意性,令,:令,当时,,存在,当时,则存在使(利用有限时的结论,Th5中已详证):若是上的非负函数,,则证明:令,则可测,故()都是可测集,由P135Th4(2)和,非负知故;同理故故从非负,,:当时,上的非负函数的积分的充要条件是证明:令,,当,非负,故从知,而注意由单调收敛定理和可测知所以,若,则有则,,注意,令,则(),这可看成是定理的应用,也可看成是基本定理的应用,(离散的),为自然数集,看成,也可这样设,则,令,,令,同理,,则,为简单函数,,,并且对于任意常数都有则证明:若存在使,,,,则,及,令及则,互不相交同样,,互不相交令,则,都是非负简单函数,且均为单调不减关于,,,是上的有界非负可测函数,,使,证明:证明:显然,由可测于知,是可测集()且,又在上表明记(大和数),(小和数)则从有界可测知在上可积(P129Th2),故,又从知,则(从知),是上的非负可测函数,,,证明:证明:由本节习题5知,则,故(1)反证设,则使,使,所以,,,对任意的,令证明:是上的连续函数证明:显然为可测集;又在上非负可测,故,在上也可测,且,故是上有定义的函数先设于上,此时有(当)这里最好是用来看.(下一节!)也可这样看,,而,故得不出结果!则当时则是连续的对一般可测函数,令,则可测于,且于,单调不减,故由定理知,使对上述固定的,是连续于上的则,当时则当时,:若非负可测函数在上的积分,则对任意,都有的可测集,使证明:由第9题知,在本题条件下是上的连续函数若,则任取一单点,,则,即若,则取,则若注意到,(的边界)满足