文档介绍：柯西不等式与排序不等式
知识要点:
1、柯西不等式
(1)柯西不等式:设a1,a2,…an和b1,b2…bn是两组实数,则
(a1b1+…+anbn)2£ (a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)
等号成立当且仅当存在实数k,使得对所有的有或对所有的有.
(2)柯西不等式的向量形式:,其中等号成立当且仅当.
(3)柯西不等式的几个推论:
①.
特殊地有:
②若bk>0(k=1,2,…,n),则.
特殊地有:若y1,y2都是正数,则,等号成立当且仅当.
③(a1+a2+…+an)(b1+b2+…+bn)
④
特殊地:
证明:
⑤a2+b2+c2 ³ ab+bc+ca, (a+b+c)2 ³3(ab+bc+ca),
证明:ab+bc+ca£
(a+b+c)2 = a2+b2+c2 + ab+bc+ca ³ 3(ab+bc+ca),
2、排序不等式
(1)对于两个有序数组则
其中是1,2,n的任意一个排列,当且仅当或时式中等号成立.
(2) 设,而是的一个排列,则
当且仅当或时式中等号成立.
(3)设有组非负数,每组个数,它们满足: ,那么,从每一组中各取出一个数作积,再从剩下的每一组中各取一个作积,直到次取完为止,然后将这些“积”相加,则所得的诸和中,以
为最大.
(4) 切比雪不等式:对于两个有序数组,则
证明:由排序不等式有:
a1b1+a2b2+…+anbn = a1b1+a2b2+…+anbn
a1b1+a2b2+…+anbn ³ a1b2+a2b3+…+anb1
a1b1+a2b2+…+anbn ³ a1b3+a2b4+…+anb2
…………………………………………
a1b1+a2b2+…+anbn ³ a1bn+a2b1+…+anbn-1
将以上式子相加得:
n(a1b1+a2b2+…+anbn) ³ a1(b1+b2+…+bn)+ a2(b1+b2+…+bn)+…+ an(b1+b2+…+bn)
∴
同理可证:
问题举例:
柯西不等式
1、利用柯西不等式证明
   (1) 若a、b、c、d∈R+ , 则(ab+cd) (ac+bd)≥4abcd;
   (2) 若a、b、c∈R+,则()(
   (3) 若a、b、c∈R+,且ab+bc+ca=1,则
(4)
 证明
 (1)∵(ab+cd)(ac+bd)
  等式当且仅当且a=d 即b=c,a=d 时成立.
 (2)
  
       =(1+1+1)2=9
当且仅当a=b=c时,等式成立.
(3)注意到
(a2+b2+c2)2=(a2+b2+c2)·(b2+c2+a2)≥(ab+bc+ca)2=1 ,
∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥1+2=3 ,
又由a+b+c>0,故a+b+c, 当且仅当时,等式成立.
 (4)注意到
  
求函数, 最小值.
方法一:(应用均值不等式求解)
³ 3+ (以下略)
方法一:(应用柯西不等式求解)
=³(以下略)
3、已知点P(x, y)在椭圆上运动,求2x+3y的取值范围.
方法一:(应用三角代换求解)
由已知可设
\2x+3y =Î
方法二:(应用柯西不等式求解)
|2x+3y| =||£
\2x+3y Î
4、已知a+b+c = 1, 求的最大值.
方法一(应用均值不等式求解)
=
=
等号成立当且仅当3a+1=3b+1=3c+1=2,即a=b=c=
方法二(应用柯西不等式求解)
£
5、若a,b,c,x,y,z都是实数,且a2+b2+c2=25, x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30,求的值.
解(ax+by+cz)2£( a2+b2+c2)( x2+y2+z2)
由已知此不等式等号成立,
不妨设a¹0,则存在实数k,使得x=ka,y=kb,z=kc,代入ax+by+cz=30
得 k(a2+b2+c2)=30Ûk=
\=
【注】本题主要学习柯西不等式等号成立条件。
6、已知a>b>c,且对所有这样的实数a, b, c恒有,则实数x的最大值为.
解令, bÎ(c,a), 则
等号成立当且仅当a – b = b – c 即b =
\
恒成立Û
\,即x£4
故x最大取值为4.
7、记,求证:
证明
欲证式
由柯西不等式,有
又由柯西不等式,有
.
∴欲证不等式成立。
8、设,证明:
证明:令a=b=,显然a=b=c=d不可能,
=
,
\
9、若x, y, z都是正数,且3x+2y+z = 39, 求的最大值.
解:=£=