文档介绍：MATLAB数学实验
第六章常微分方程
第六章常微分方程
预备知识:常微分方程
解常微分方程的MATLAB指令
计算实验:Euler法和刚性方程组
建模实验: 导弹系统的改进
常微分方程: f (t,y,y’,y’’,…,y(n))=0
微分方程组: 联系一些未知函数的一组微
分方程
线性常微分方程: y(n) + a1 (t) y(n-1) + …
+ an-1 (t) y’+ an (t) y = b(t)
若ai (t) (i =1, …,n) 与t无关, 称为常系数的
若b(t)=0,称为齐次的
预备知识:常微分方程
线性常微分方程的解为一个特解和相应
的齐次微分方程通解的叠加。
齐次微分方程的解可用特征根法求得
例1 求x’’+ x’+ = 0的通解
解特征方程为2 + +=0
» roots([1 ]
求得共轭复根+i=-,
通解为 x(t) = Aet cos(t) +Bet sin(t)
数值解法:寻求解y(t)在一系列离散节点
t0 < t1 < …< tn <tf 上的近似值yk (k=0,1,…n)。 hk = tk+1 -tk 为步长,通常取为常量h 。
其中
高阶常微分方程初值问题可以化为一阶常微分方程组,已给一个n阶方程 y(n) = f (t, y, y’,…,y(n-1))
设y1 = y, y2 = y’, …, y n= y(n-1), 化为一阶方程组
y0: 表示初值向量y0;
t: 表示节点列向量(t0 , t1 , …, tn)T;
y: 数值解矩阵,每一列对应y的一个分量
若无输出参数,则作出图形
初值问题求解 
常用格式[t,y] = ode45(odefun, tspan, y0)
odefun:表示f (t, y)的函数句柄或Inline函数
t是标量,y是标量或向量;
tspan: 若为[t0, tf], 表示自变量初值t0和终值tf
若为[t0,t1,, tn], 表示输出节点列向量
完整格式
[t,y] = ode45(odefun, tspan, y0,options,
p1,p2,)
options——为计算参数(如精度要求)设
置,默认可用空矩阵[]表示;
p1,p2,——为附加传递参数,这时
odefun的表示为f (t, y,flag,p1,p2, )
例2 解微分方程 y’= y2t/y, y(0)=1, 0<t<4
例3 解微分方程组
0<t<30
例4 求解微分方程组
已知当=0时,
f=0, T=1,
解首先引入辅助变量,
t=, y1=f, , , y4=T,
化为一阶方程组