文档介绍：小波分析基础
一、认识小波
1、预备知识
从数学的角度讲,小波是构造函数空间正交基的基本单元,是在能量有限空间L2(R) 上满足允许条件的函数,这样认识小波需要L2(R) 空间的基础知识,特别是内积空间中空间分解、函数变换等的基础知识。
从信号处理的角度讲,小波(变换)是强有力的时频分析(处理)工具,是在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的,所以从信号处理的角度认识小波,需要傅立叶变换、傅立叶级数、滤波器等的基础知识。
()
一个信号从数学的角度来看,它是一个自变量为时间t的函数f(t)。因为信号是能量有限的,即
满足条件()的所有函数的集合就形成L2(R)
图像是二维信号,同样是能量有限的。实际上任何一幅数字图像都是从真实的场景中经过采样和量化处理后得到的。从数学上看,图像是定义在L2(R2)上的函数。
如图1所示的LENA图像f(x,y),假设图像的大小是512x512,量化级是256,即
x
y
2、L2(R)空间的正交分解和变换[1]
对f(t)L2(R),存在L2(R) 的一组标准正交基gi(t),t R,i=1,2,…使得
其中
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()
对于给定信号f(t),关键是选择合适的基gi(t) ,使得f(t)在这组基下的表现呈现出我们需要的特性,但是如果某一个基不满足要求,可通过变换将函数转换到另一个基下表示,才能得到我们需要的函数表示。常用的变换[2]有:
(1) K-L变换
(2) Walsh变换
(3) 傅立叶变换
(4) 小波变换
如图所示是信号f(t)的傅立叶变换示意图。信号f(t)经傅立叶变换由时域变换到频域,基底不同得到大变换也不同。
在信号处理中,有两类非常重要的变换即傅立叶变换和小波变换。目前,可简单地将小波理解为满足以下两个条件的特殊信号:
小波必须时振荡的;
小波的振幅只能在一个很短的一段区间上非零,即是局部化的。
1、Daubechies小波
一些著名的小波[3]:
2、Coiflets小波
3、Symlets小波
4、Morlet小波 5、Mexican Hat小波
6、Meyer小波
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不是小波的例